相空間と定性的解析

$\varepsilon >0$ を $\{\lvert y\rvert \le\varepsilon \}\subset B$ となるようにとり、$m=\min_{\lvert y\rvert =\varepsilon }V(y)>0$ とおく（有界閉集合上の連続関数の最小値）。$V$ は連続で $V(0)=0$ なので、$\delta>0$ を $\lvert y\rvert <\delta$ で $V(y)<m$ となるようにとれる。$\lvert y(0)\rvert <\delta$ の解は $\dot V\le0$ により $V(y(t))\le V(y(0))<m$ を保つので、球面 $\lvert y\rvert =\varepsilon$（そこでは $V\ge m$）に到達できない。

$P=\int_0^\infty\mathrm{e}^{A^{\mathsf T}t}\mathrm{e}^{At}\,\mathrm{d} t$ とおく。固有値の実部が負なので $\lVert \mathrm{e}^{At}\rVert$ は指数関数的に減衰し、積分は収束する。$P$ は対称正定値で、$A^{\mathsf T}P+PA=\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\bigl(\mathrm{e}^{A^{\mathsf T}t}\mathrm{e}^{At}\bigr)\mathrm{d} t=-I$ を満たす。$V(y)=y^{\mathsf T}Py$ とすると、$F(y)=Ay+r(y)$、$\lvert r(y)\rvert \le C\lvert y\rvert ^2$ として

$$\dot V=y^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}P+PA)y+2y^{\mathsf T}Pr(y)\le-\lvert y\rvert ^2+2\lVert P\rVert C\lvert y\rvert ^3.$$

$\lvert y\rvert \le1/(4\lVert P\rVert C)$ の範囲では $\dot V\le-\frac12\lvert y\rvert ^2\le-V/(2\lVert P\rVert )$ となり、$V$ は指数関数的に減る（範囲から出ないことは定理 2.7 の議論と同じ）。$V$ は $\lvert y\rvert ^2$ と同等なので $\lvert y\rvert$ も指数関数的に減る。

球 $\lvert y\rvert \le K+1$ 上の $\lvert F\rvert$ の上限を $M$、Lipschitz 定数を $L$ とする。定理 2.4 を、$\lvert y_1\rvert \le K$ を満たす任意の点 $y_1$ を初期値として $b=1$ で使うと、解は少なくとも時間 $h=\min\{1/M,1/(2L)\}$ だけ存在する。$h$ は $y_1$ によらない。$T^*<\infty$ と仮定し、時刻 $T^*-h/2$ の値 $y(T^*-h/2)$（評価により $\lvert \,\cdot\,\rvert \le K$）から出発し直すと、解は $T^*+h/2$ まで延び、一意性により元の解とつながる。これは $T^*$ の最大性に反する。