Grönwall の不等式とデータへの連続依存

補題 2.5（Grönwall の不等式 ★★★）

$u(t)$ を $[0,T]$ 上の非負連続関数、$a,b\ge0$、$L>0$ とする。

$$u(t)\le a+\int_0^t\bigl(b+L\,u(s)\bigr)\mathrm{d} s\qquad(0\le t\le T)$$

ならば

$$u(t)\le a\,\mathrm{e}^{Lt}+\frac{b}{L}\left(\mathrm{e}^{Lt}-1\right)\qquad(0\le t\le T).\tag{2.3}$$

定理 2.6（連続依存と誤差評価 ★★★）

$F$ は $\mathbb{R}^d$ 上で Lipschitz 定数 $L$ をもつとする。$y$ を $y'=F(y)$ の解、$z$ を摂動を受けた方程式 $z'=F(z)+r(t)$（$\lvert r(t)\rvert \le\delta$）の解とすると、

$$\lvert y(t)-z(t)\rvert \le\lvert y(0)-z(0)\rvert \,\mathrm{e}^{Lt}+\frac{\delta}{L}\left(\mathrm{e}^{Lt}-1\right).\tag{2.4}$$

誤差評価の原型：残差と安定性

定理 2.6 は近似の理論で何度も現れる型をしている。$z$ を「近似解」、$r$ を近似解を真の方程式に代入したときの残差（方程式をどれだけ満たしていないか）とみると、(2.4) は

$$\text{（真の解と近似解の距離）}\le\text{（初期データの差）}\times\text{（増幅率）}+\text{（残差の大きさ）}\times\text{（増幅率）}$$

と読める。近似を正当化する仕事は、多くの場合この二つの因子に分かれる。一つは残差が小さいこと（近似方程式が真の方程式をほぼ満たすこと。数値解析では整合性と呼ぶ）、もう一つは増幅率が制御できること（真の方程式が小さな誤差を爆発的に増やさないこと。安定性と呼ぶ）である。どちらか片方だけでは近似は正当化されない。線形の差分スキームについてこの「整合性＋安定性＝収束」を定式化したものが Lax の同値定理である。第6章の平均場極限の古典的な証明（Lipschitz な相互作用の場合）は、この型の評価を粒子の経験分布と平均場の解の距離に対して行う。第7章の断熱近似の誤差評価も、残差を見積もって Grönwall 型の議論で解の差へ移す。

例題 2.3　摂動を受けた振動子：粗い評価と構造を使う評価 ★★★

オリジナル[標準的な題材を自作] $U=(x,v)$ に対する二つの系

$$\text{(P)}\ \ x'=v,\ v'=-x+\varepsilon \sin x,\qquad \text{(H)}\ \ x'=v,\ v'=-x$$

を同じ初期値 $(1,0)$ から解き、差 $w=U_{\mathrm P}-U_{\mathrm H}$ を評価する（$\lvert \cdot\rvert$ は $\mathbb{R}^2$ のユークリッドノルム）。

1. 定理 2.6 の型の議論で $\lvert w(t)\rvert \le\varepsilon (\mathrm{e}^t-1)$ を示せ。
2. 調和振動子の右辺 $A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ が反対称であることを使い、$\lvert w(t)\rvert \le\varepsilon t$ を示せ。
3. $\varepsilon =0.1$ で二つの上界を実際の差と比べ、どちらの評価が物理的に意味をもつか述べよ。