近似の数理 第2章 §2.6 ★★★ 弱形式は Galerkin 近似（第4章）の出発点であり、ソボレフ空間は「運動エネルギー有限な状態」の空間である
弱微分
Poisson 方程式 − Δ u = f -\Delta u=f − Δ u = f 0 0 0 φ \varphi φ ∫ ∇ u ⋅ ∇ φ = ∫ f φ \int\nabla u\cdot\nabla\varphi=\int f\varphi ∫ ∇ u ⋅ ∇ φ = ∫ f φ u u u
以下、C c ∞ ( Ω ) C_c^\infty(\Omega) C c ∞ ( Ω ) φ ≠ 0 \varphi\ne0 φ = 0 Ω \Omega Ω 試験関数 と呼ぶ。
定義 2.14（弱微分）
u , g ∈ L 2 ( Ω ) u,g\in L^2(\Omega) u , g ∈ L 2 ( Ω ) φ ∈ C c ∞ ( Ω ) \varphi\in C_c^\infty(\Omega) φ ∈ C c ∞ ( Ω )
∫ Ω u ∂ i φ d x = − ∫ Ω g φ d x \int_\Omega u\,\partial_i\varphi\,\mathrm{d} x=-\int_\Omega g\,\varphi\,\mathrm{d} x ∫ Ω u ∂ i φ d x = − ∫ Ω g φ d x
が成り立つとき、g g g u u u x i x_i x i 弱微分 といい、∂ i u = g \partial_iu=g ∂ i u = g
u u u C 1 C^1 C 1 0 0 0
弱微分をもつ関数ともたない関数
( − 1 , 1 ) (-1,1) ( − 1 , 1 ) u ( x ) = ∣ x ∣ u(x)=\lvert x\rvert u ( x ) = ∣ x ∣ x = 0 x=0 x = 0 sign x \operatorname{sign}x sign x ∫ − 1 1 ∣ x ∣ φ ′ = − ∫ − 1 1 sign ( x ) φ \int_{-1}^1\lvert x\rvert \varphi'=-\int_{-1}^1\operatorname{sign}(x)\varphi ∫ − 1 1 ∣ x ∣ φ ′ = − ∫ − 1 1 sign ( x ) φ ( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) H ( x ) H(x) H ( x ) x > 0 x>0 x > 0 1 1 1 x < 0 x<0 x < 0 0 0 0 ∫ H φ ′ = − φ ( 0 ) \int H\varphi'=-\varphi(0) ∫ H φ ′ = − φ ( 0 ) − ∫ g φ -\int g\varphi − ∫ g φ g ∈ L 2 g\in L^2 g ∈ L 2 φ ( 0 ) = 1 \varphi(0)=1 φ ( 0 ) = 1 ( − η , η ) (-\eta,\eta) ( − η , η ) ∣ φ ∣ ≤ 1 \lvert \varphi\rvert \le1 ∣ φ ∣ ≤ 1 ∣ ∫ g φ ∣ ≤ ∥ g ∥ L 2 ( − η , η ) 2 η → 0 \lvert \int g\varphi\rvert \le\lVert g\rVert _{ L^2(-\eta,\eta)}\sqrt{2\eta}\to0 ∣ ∫ g φ ∣ ≤ ∥ g ∥ L 2 ( − η , η ) 2 η → 0 η → 0 \eta\to0 η → 0 φ ( 0 ) = 1 \varphi(0)=1 φ ( 0 ) = 1 H H H
ソボレフ空間
定義 2.15（ソボレフ空間 H 1 H^1 H 1
H 1 ( Ω ) H^1(\Omega) H 1 ( Ω ) u ∈ L 2 ( Ω ) u\in L^2(\Omega) u ∈ L 2 ( Ω ) ∂ i u \partial_iu ∂ i u L 2 ( Ω ) L^2(\Omega) L 2 ( Ω )
⟨ u , v ⟩ H 1 = ∫ Ω ( u ˉ v + ∇ u ‾ ⋅ ∇ v ) d x , ∥ u ∥ H 1 2 = ∥ u ∥ 2 + ∥ ∇ u ∥ 2 \langle u,\,v\rangle _{ H^1}=\int_\Omega\bigl(\bar uv+\overline{\nabla u}\cdot\nabla v\bigr)\mathrm{d} x,\qquad\lVert u\rVert _{ H^1}^2=\lVert u\rVert ^2+\lVert \nabla u\rVert ^2 ⟨ u , v ⟩ H 1 = ∫ Ω ( u ˉ v + ∇ u ⋅ ∇ v ) d x , ∥ u ∥ H 1 2 = ∥ u ∥ 2 + ∥ ∇ u ∥ 2
で定める。C c ∞ ( Ω ) C_c^\infty(\Omega) C c ∞ ( Ω ) H 1 H^1 H 1 H 0 1 ( Ω ) H^1_0(\Omega) H 0 1 ( Ω )
H 1 ( Ω ) H^1(\Omega) H 1 ( Ω ) H 0 1 ( Ω ) H^1_0(\Omega) H 0 1 ( Ω ) L 2 L^2 L 2 H 0 1 H^1_0 H 0 1 0 0 0 H 1 H^1 H 1
H 1 H^1 H 1
量子力学では ⟨ ψ , − Δ ψ ⟩ = ∥ ∇ ψ ∥ 2 \langle \psi,\,-\Delta\psi\rangle =\lVert \nabla\psi\rVert ^2 ⟨ ψ , − Δ ψ ⟩ = ∥ ∇ ψ ∥ 2 ℏ 2 / 2 m \hbar^2/2m ℏ 2 /2 m H 1 H^1 H 1 e − r \mathrm{e}^{-r} e − r H 1 H^1 H 1 H 1 H^1 H 1
H 1 H^1 H 1 H 1 H^1 H 1 u ( x ) − u ( y ) = ∫ y x u ′ u(x)-u(y)=\int_y^xu' u ( x ) − u ( y ) = ∫ y x u ′
∣ u ( x ) − u ( y ) ∣ ≤ ∣ x − y ∣ 1 / 2 ∥ u ′ ∥ \lvert u(x)-u(y)\rvert \le\lvert x-y\rvert ^{1/2}\lVert u'\rVert ∣ u ( x ) − u ( y )∣ ≤ ∣ x − y ∣ 1/2 ∥ u ′ ∥
となり、u u u 1 / 2 1/2 1/2 u ( 0 ) u(0) u ( 0 ) u ( x ) = log ∣ log ∣ x ∣ ∣ u(x)=\log\lvert \log\lvert x\rvert \rvert u ( x ) = log ∣ log ∣ x ∣∣ H 1 H^1 H 1 ∫ ∣ ∇ u ∣ 2 ∝ ∫ 0 r 0 d r r log 2 r < ∞ \int\lvert \nabla u\rvert ^2\propto\int_0^{r_0}\frac{\mathrm{d} r}{r\log^2r}<\infty ∫ ∣ ∇ u ∣ 2 ∝ ∫ 0 r 0 r l o g 2 r d r < ∞
Poincaré 不等式
定理 2.16（Poincaré 不等式 ★★★）
Ω \Omega Ω L L L { 0 < x 1 < L } \{0<x_1<L\} { 0 < x 1 < L } u ∈ H 0 1 ( Ω ) u\in H^1_0(\Omega) u ∈ H 0 1 ( Ω )
∥ u ∥ ≤ L π ∥ ∇ u ∥ . \lVert u\rVert \le\frac L\pi\lVert \nabla u\rVert . ∥ u ∥ ≤ π L ∥ ∇ u ∥ .
特に Ω = ( 0 , L ) \Omega=(0,L) Ω = ( 0 , L ) L / π L/\pi L / π u = sin ( π x / L ) u=\sin(\pi x/L) u = sin ( π x / L )
証明 両辺は H 1 H^1 H 1 u ∈ C c ∞ ( Ω ) u\in C_c^\infty(\Omega) u ∈ C c ∞ ( Ω ) H 0 1 H^1_0 H 0 1 ( 0 , L ) (0,L) ( 0 , L ) u u u u = ∑ k a k sin ( k π x / L ) u=\sum_ka_k\sin(k\pi x/L) u = ∑ k a k sin ( k π x / L ) u ( 0 ) = u ( L ) = 0 u(0)=u(L)=0 u ( 0 ) = u ( L ) = 0 ∫ 0 L u ′ cos ( k π x / L ) d x = k π L ∫ 0 L u sin ( k π x / L ) d x \int_0^Lu'\cos(k\pi x/L)\mathrm{d} x=\frac{k\pi}{L}\int_0^Lu\sin(k\pi x/L)\mathrm{d} x ∫ 0 L u ′ cos ( k π x / L ) d x = L k π ∫ 0 L u sin ( k π x / L ) d x u ′ u' u ′ ( k π / L ) a k (k\pi/L)a_k ( k π / L ) a k ∫ u ′ = 0 \int u'=0 ∫ u ′ = 0
∥ u ′ ∥ 2 = L 2 ∑ k ( k π L ) 2 a k 2 ≥ ( π L ) 2 L 2 ∑ k a k 2 = ( π L ) 2 ∥ u ∥ 2 , \lVert u'\rVert ^2=\frac L2\sum_k\Bigl(\frac{k\pi}L\Bigr)^2a_k^2\ge\Bigl(\frac\pi L\Bigr)^2\frac L2\sum_ka_k^2=\Bigl(\frac\pi L\Bigr)^2\lVert u\rVert ^2, ∥ u ′ ∥ 2 = 2 L k ∑ ( L k π ) 2 a k 2 ≥ ( L π ) 2 2 L k ∑ a k 2 = ( L π ) 2 ∥ u ∥ 2 ,
等号は a k = 0 a_k=0 a k = 0 k ≥ 2 k\ge2 k ≥ 2 x 1 x_1 x 1 x ′ x' x ′ x 1 ↦ u ( x 1 , x ′ ) x_1\mapsto u(x_1,x') x 1 ↦ u ( x 1 , x ′ ) L L L x 1 x_1 x 1 L L L x ′ x' x ′ ∥ u ∥ 2 ≤ ( L / π ) 2 ∥ ∂ 1 u ∥ 2 ≤ ( L / π ) 2 ∥ ∇ u ∥ 2 \lVert u\rVert ^2\le(L/\pi)^2\lVert \partial_1u\rVert ^2\le(L/\pi)^2\lVert \nabla u\rVert ^2 ∥ u ∥ 2 ≤ ( L / π ) 2 ∥ ∂ 1 u ∥ 2 ≤ ( L / π ) 2 ∥ ∇ u ∥ 2
境界条件 u = 0 u=0 u = 0 ∇ u = 0 \nabla u=0 ∇ u = 0 ∥ u ∥ ≠ 0 \lVert u\rVert \ne0 ∥ u ∥ = 0 0 0 0 ( π ℏ / L ) 2 / 2 m (\pi\hbar/L)^2/2m ( π ℏ/ L ) 2 /2 m ( 0 , 2.7 ) (0,2.7) ( 0 , 2.7 ) ∥ u ′ ∥ 2 / ∥ u ∥ 2 \lVert u'\rVert ^2/\lVert u\rVert ^2 ∥ u ′ ∥ 2 / ∥ u ∥ 2 ( π / L ) 2 (\pi/L)^2 ( π / L ) 2
Poisson 方程式の弱形式と Riesz の表現定理
定義 2.17（弱解）
f ∈ L 2 ( Ω ) f\in L^2(\Omega) f ∈ L 2 ( Ω ) u ∈ H 0 1 ( Ω ) u\in H^1_0(\Omega) u ∈ H 0 1 ( Ω ) − ∇ ⋅ ( A ∇ u ) = f -\nabla\cdot(A\nabla u)=f − ∇ ⋅ ( A ∇ u ) = f Ω \Omega Ω u = 0 u=0 u = 0 ∂ Ω \partial\Omega ∂ Ω 弱解 であるとは、
a ( u , v ) : = ∫ Ω ( A ∇ u ) ⋅ ∇ v d x = ∫ Ω f v d x = : ℓ ( v ) すべての v ∈ H 0 1 ( Ω ) (2.6) a(u,v):=\int_\Omega(A\nabla u)\cdot\nabla v\,\mathrm{d} x=\int_\Omega fv\,\mathrm{d} x=:\ell(v)\qquad\text{すべての }v\in H^1_0(\Omega)\tag{2.6} a ( u , v ) := ∫ Ω ( A ∇ u ) ⋅ ∇ v d x = ∫ Ω f v d x =: ℓ ( v ) すべての v ∈ H 0 1 ( Ω ) ( 2.6 )
が成り立つことをいう。ここで A ( x ) A(x) A ( x ) 0 < λ ≤ Λ 0<\lambda\le\Lambda 0 < λ ≤ Λ λ ∣ ξ ∣ 2 ≤ ξ ⋅ A ( x ) ξ ≤ Λ ∣ ξ ∣ 2 \lambda\lvert \xi\rvert ^2\le\xi\cdot A(x)\xi\le\Lambda\lvert \xi\rvert ^2 λ ∣ ξ ∣ 2 ≤ ξ ⋅ A ( x ) ξ ≤ Λ ∣ ξ ∣ 2 有界かつ一様楕円 ）を満たすとする。A = I A=I A = I − Δ u = f -\Delta u=f − Δ u = f
滑らかな古典解は、部分積分により弱解である。逆に弱解が滑らかなら、部分積分を逆にたどって ∫ ( − ∇ ⋅ ( A ∇ u ) − f ) v = 0 \int(-\nabla\cdot(A\nabla u)-f)v=0 ∫ ( − ∇ ⋅ ( A ∇ u ) − f ) v = 0 v v v A A A
弱解の存在を示す道具が次の定理である。ヒルベルト空間 H \mathcal{H} H ℓ : H → R \ell:\mathcal{H}\to\mathbb{R} ℓ : H → R 有界 （連続）であるとは、ある C C C ∣ ℓ ( v ) ∣ ≤ C ∥ v ∥ \lvert \ell(v)\rvert \le C\lVert v\rVert ∣ ℓ ( v )∣ ≤ C ∥ v ∥
定理 2.18（Riesz の表現定理 ★★★）
実ヒルベルト空間 H \mathcal{H} H ℓ \ell ℓ ℓ ( v ) = ⟨ z , v ⟩ \ell(v)=\langle z,\,v\rangle ℓ ( v ) = ⟨ z , v ⟩ v ∈ H v\in\mathcal{H} v ∈ H z ∈ H z\in\mathcal{H} z ∈ H
証明 ℓ = 0 \ell=0 ℓ = 0 z = 0 z=0 z = 0 ℓ ≠ 0 \ell\ne0 ℓ = 0 N = { v : ℓ ( v ) = 0 } N=\{v:\ell(v)=0\} N = { v : ℓ ( v ) = 0 } ℓ \ell ℓ N N N N ≠ H N\ne\mathcal{H} N = H x ∉ N x\notin N x ∈ / N 2.13 ）で x x x N N N v ∗ v^* v ∗ z 0 = x − v ∗ ≠ 0 z_0=x-v^*\ne0 z 0 = x − v ∗ = 0 N N N v v v v − ℓ ( v ) ℓ ( z 0 ) z 0 ∈ N v-\frac{\ell(v)}{\ell(z_0)}z_0\in N v − ℓ ( z 0 ) ℓ ( v ) z 0 ∈ N z 0 z_0 z 0 0 0 0 ⟨ z 0 , v ⟩ = ℓ ( v ) ℓ ( z 0 ) ∥ z 0 ∥ 2 \langle z_0,\,v\rangle =\frac{\ell(v)}{\ell(z_0)}\lVert z_0\rVert ^2 ⟨ z 0 , v ⟩ = ℓ ( z 0 ) ℓ ( v ) ∥ z 0 ∥ 2 z = ℓ ( z 0 ) ∥ z 0 ∥ 2 z 0 z=\frac{\ell(z_0)}{\lVert z_0\rVert ^2}z_0 z = ∥ z 0 ∥ 2 ℓ ( z 0 ) z 0 ℓ ( v ) = ⟨ z , v ⟩ \ell(v)=\langle z,\,v\rangle ℓ ( v ) = ⟨ z , v ⟩ ⟨ z − z ′ , v ⟩ = 0 \langle z-z',\,v\rangle =0 ⟨ z − z ′ , v ⟩ = 0 v v v v = z − z ′ v=z-z' v = z − z ′ z = z ′ z=z' z = z ′
定理 2.19（弱解の存在・一意性・連続依存 ★★★）
定義 2.17 の仮定の下で、任意の f ∈ L 2 ( Ω ) f\in L^2(\Omega) f ∈ L 2 ( Ω ) u ∈ H 0 1 ( Ω ) u\in H^1_0(\Omega) u ∈ H 0 1 ( Ω ) C P C_P C P ∥ ∇ u ∥ ≤ ( C P / λ ) ∥ f ∥ \lVert \nabla u\rVert \le(C_P/\lambda)\lVert f\rVert ∥ ∇ u ∥ ≤ ( C P / λ ) ∥ f ∥
証明 a ( u , v ) a(u,v) a ( u , v ) H 0 1 ( Ω ) H^1_0(\Omega) H 0 1 ( Ω ) a ( u , u ) ≥ λ ∥ ∇ u ∥ 2 a(u,u)\ge\lambda\lVert \nabla u\rVert ^2 a ( u , u ) ≥ λ ∥ ∇ u ∥ 2 a ( u , u ) ≤ Λ ∥ ∇ u ∥ 2 a(u,u)\le\Lambda\lVert \nabla u\rVert ^2 a ( u , u ) ≤ Λ ∥ ∇ u ∥ 2 ∥ u ∥ H 1 2 ≤ ( 1 + C P 2 ) ∥ ∇ u ∥ 2 \lVert u\rVert _{ H^1}^2\le(1+C_P^2)\lVert \nabla u\rVert ^2 ∥ u ∥ H 1 2 ≤ ( 1 + C P 2 ) ∥ ∇ u ∥ 2 a ( u , u ) 1 / 2 a(u,u)^{1/2} a ( u , u ) 1/2 H 1 H^1 H 1 H 0 1 H^1_0 H 0 1 a a a ℓ ( v ) = ∫ f v \ell(v)=\int fv ℓ ( v ) = ∫ f v ∣ ℓ ( v ) ∣ ≤ ∥ f ∥ ∥ v ∥ ≤ C P ∥ f ∥ ∥ ∇ v ∥ ≤ ( C P / λ ) ∥ f ∥ a ( v , v ) 1 / 2 \lvert \ell(v)\rvert \le\lVert f\rVert \lVert v\rVert \le C_P\lVert f\rVert \lVert \nabla v\rVert \le(C_P/\sqrt\lambda)\lVert f\rVert \,a(v,v)^{1/2} ∣ ℓ ( v )∣ ≤ ∥ f ∥ ∥ v ∥ ≤ C P ∥ f ∥ ∥ ∇ v ∥ ≤ ( C P / λ ) ∥ f ∥ a ( v , v ) 1/2 a a a a ( u , v ) = ℓ ( v ) a(u,v)=\ell(v) a ( u , v ) = ℓ ( v ) u u u v = u v=u v = u λ ∥ ∇ u ∥ 2 ≤ a ( u , u ) = ℓ ( u ) ≤ C P ∥ f ∥ ∥ ∇ u ∥ \lambda\lVert \nabla u\rVert ^2\le a(u,u)=\ell(u)\le C_P\lVert f\rVert \lVert \nabla u\rVert λ ∥ ∇ u ∥ 2 ≤ a ( u , u ) = ℓ ( u ) ≤ C P ∥ f ∥ ∥ ∇ u ∥
この定理は、Hadamard の3条件（存在・一意性・連続依存）を、H 0 1 H^1_0 H 0 1 A A A a ( u , u ) ≥ λ ∥ ∇ u ∥ 2 a(u,u)\ge\lambda\lVert \nabla u\rVert ^2 a ( u , u ) ≥ λ ∥ ∇ u ∥ 2
弱解が実際に滑らかか（f f f u u u 正則性理論 の問題で、Riesz の定理からは出てこない難所である。滑らかな係数と境界に対しては正則性が成り立つことが知られている。第4章で見るように、Galerkin 近似の収束の速さは解の正則性で決まるので、この難所は「近似がどれだけ速く収束するか」に直結する。
弱形式は Galerkin 近似の出発点
弱形式 (2.6) の「すべての v ∈ H 0 1 v\in H^1_0 v ∈ H 0 1 V N V_N V N v v v u N ∈ V N u_N\in V_N u N ∈ V N a ( u N , v ) = ℓ ( v ) a(u_N,v)=\ell(v) a ( u N , v ) = ℓ ( v ) v ∈ V N v\in V_N v ∈ V N Galerkin 近似 である。差をとれば a ( u − u N , v ) = 0 a(u-u_N,v)=0 a ( u − u N , v ) = 0 v ∈ V N v\in V_N v ∈ V N u N u_N u N a a a u u u V N V_N V N u N u_N u N V N V_N V N
例題 2.6 1次元の弱解を Riesz の表現定理で構成する ★★★
オリジナル [標準的な題材を自作]
Ω = ( 0 , 1 ) \Omega=(0,1) Ω = ( 0 , 1 ) H = H 0 1 ( 0 , 1 ) \mathcal{H}= H^1_0(0,1) H = H 0 1 ( 0 , 1 ) ⟨ u , v ⟩ a = ∫ 0 1 u ′ v ′ d x \langle u,\,v\rangle _a=\int_0^1u'v'\,\mathrm{d} x ⟨ u , v ⟩ a = ∫ 0 1 u ′ v ′ d x f ( x ) = x f(x)=x f ( x ) = x − u ′ ′ = f -u''=f − u ′′ = f u ( 0 ) = u ( 1 ) = 0 u(0)=u(1)=0 u ( 0 ) = u ( 1 ) = 0
点 x ∈ ( 0 , 1 ) x\in(0,1) x ∈ ( 0 , 1 ) G x ( y ) = min ( x , y ) ( 1 − max ( x , y ) ) G_x(y)=\min(x,y)\bigl(1-\max(x,y)\bigr) G x ( y ) = min ( x , y ) ( 1 − max ( x , y ) ) v ∈ H v\in\mathcal{H} v ∈ H ⟨ G x , v ⟩ a = v ( x ) \langle G_x,\,v\rangle _a=v(x) ⟨ G x , v ⟩ a = v ( x ) G x G_x G x
弱解 u u u u ( x ) = ∫ 0 1 G x ( y ) f ( y ) d y u(x)=\int_0^1G_x(y)f(y)\,\mathrm{d} y u ( x ) = ∫ 0 1 G x ( y ) f ( y ) d y u u u
求めた u u u v = x 2 ( 1 − x ) v=x^2(1-x) v = x 2 ( 1 − x )
解答 (1) G x ( y ) G_x(y) G x ( y ) y < x y<x y < x y ( 1 − x ) y(1-x) y ( 1 − x ) y > x y>x y > x x ( 1 − y ) x(1-y) x ( 1 − y ) G x ′ ( y ) G_x'(y) G x ′ ( y ) y < x y<x y < x 1 − x 1-x 1 − x y > x y>x y > x − x -x − x v ( 0 ) = v ( 1 ) = 0 v(0)=v(1)=0 v ( 0 ) = v ( 1 ) = 0
⟨ G x , v ⟩ a = ( 1 − x ) ∫ 0 x v ′ d y − x ∫ x 1 v ′ d y = ( 1 − x ) v ( x ) + x v ( x ) = v ( x ) . \langle G_x,\,v\rangle _a=(1-x)\int_0^xv'\,\mathrm{d} y-x\int_x^1v'\,\mathrm{d} y=(1-x)v(x)+x\,v(x)=v(x). ⟨ G x , v ⟩ a = ( 1 − x ) ∫ 0 x v ′ d y − x ∫ x 1 v ′ d y = ( 1 − x ) v ( x ) + x v ( x ) = v ( x ) .
1次元の H 0 1 H^1_0 H 0 1 v ( x ) v(x) v ( x ) ∣ v ( x ) ∣ ≤ ∥ v ′ ∥ \lvert v(x)\rvert \le\lVert v'\rVert ∣ v ( x )∣ ≤ ∥ v ′ ∥ G x G_x G x
(2) 弱解の定義 ⟨ u , v ⟩ a = ∫ f v \langle u,\,v\rangle _a=\int fv ⟨ u , v ⟩ a = ∫ f v v = G x v=G_x v = G x ⟨ u , G x ⟩ a = u ( x ) \langle u,\,G_x\rangle _a=u(x) ⟨ u , G x ⟩ a = u ( x ) u ( x ) = ∫ 0 1 G x ( y ) f ( y ) d y u(x)=\int_0^1G_x(y)f(y)\,\mathrm{d} y u ( x ) = ∫ 0 1 G x ( y ) f ( y ) d y G x G_x G x f ( y ) = y f(y)=y f ( y ) = y
u ( x ) = ( 1 − x ) ∫ 0 x y 2 d y + x ∫ x 1 ( 1 − y ) y d y = ( 1 − x ) x 3 3 + x ( 1 6 − x 2 2 + x 3 3 ) = x − x 3 6 . u(x)=(1-x)\int_0^xy^2\,\mathrm{d} y+x\int_x^1(1-y)y\,\mathrm{d} y=\frac{(1-x)x^3}{3}+x\Bigl(\frac16-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3\Bigr)=\frac{x-x^3}{6}. u ( x ) = ( 1 − x ) ∫ 0 x y 2 d y + x ∫ x 1 ( 1 − y ) y d y = 3 ( 1 − x ) x 3 + x ( 6 1 − 2 x 2 + 3 x 3 ) = 6 x − x 3 .
(3) u ′ ′ = − x u''=-x u ′′ = − x − u ′ ′ = x = f -u''=x=f − u ′′ = x = f u ( 0 ) = u ( 1 ) = 0 u(0)=u(1)=0 u ( 0 ) = u ( 1 ) = 0 ∫ 0 1 u ′ v ′ d x \int_0^1u'v'\,\mathrm{d} x ∫ 0 1 u ′ v ′ d x ∫ 0 1 x v d x \int_0^1xv\,\mathrm{d} x ∫ 0 1 xv d x 1 / 20 1/20 1/20
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
