この章のまとめ

(1) $L_2=\frac12\bigl[Bc^2\dot t^2-A(\dot r^2+r^2\dot\varphi^2)\bigr]$。$t$ と $\varphi$ は $L_2$ に現れないので、それぞれの正準運動量$\frac{\partial L_2}{\partial \dot t}=Bc^2\dot t$ と $\frac{\partial L_2}{\partial \dot\varphi}=-Ar^2\dot\varphi$ が保存する。定数倍を整えて $\tilde E=Bc\,\dot t$、$\ell=Ar^2\dot\varphi$ とする。これは Killing ベクトル $\partial_0$ と $\partial_\varphi$ の保存量 $\xi_\mu u^\mu$ で、$\tilde E$ は式 (2.12.22) の $E/(mc)$ にあたる。

(2) $Bc^2\dot t^2-A(\dot r^2+r^2\dot\varphi^2)=c^2$ に $\dot t=\tilde E/(Bc)$、$\dot\varphi=\ell/(Ar^2)$ を入れて

$$\dot r^2=\frac{1}{A}\Bigl(\frac{\tilde E^2}{B}-c^2\Bigr)-\frac{\ell^2}{A^2r^2}.$$

(3) $\tilde E^2=c^2+2e+e^2/c^2$、$1/B=1+2GM/(rc^2)+\mathcal{O}(c^{-4})$ なので $\tilde E^2/B-c^2=2e+2GM/r+\mathcal{O}(c^{-2})$。$A\to1$ と合わせて

$$\dot r^2=2e+\frac{2GM}{r}-\frac{\ell^2}{r^2}+\mathcal{O}(c^{-2}),$$

つまり $\frac12\dot r^2+\frac{\ell^2}{2r^2}-\frac{GM}{r}=e$ で、$\tau\approx t$ として Newton の中心力のエネルギーの式である。有効ポテンシャル $\frac{\ell^2}{2r^2}-\frac{GM}{r}$ の極小（$\dot r=0$ を保つ円軌道）は $\ell^2=GMr$ で、角速度は $\dot\varphi=\ell/r^2=\sqrt{GM/r^3}$（Kepler の第3法則）。

(4) 式 (2.12.6) に $\Phi=-GM/r$ と (3) の $v^2=r^2\dot\varphi^2=GM/r$ を入れて

$$\frac{\mathrm{d} \tau}{\mathrm{d} t}=1-\frac{GM}{rc^2}-\frac{GM}{2rc^2}=1-\frac{3GM}{2rc^2}.$$

$v^2$ の $1/c^2$ の補正は $\frac{\mathrm{d} \tau}{\mathrm{d} t}$ に $\mathcal{O}(c^{-4})$ でしか入らないので、Newton の次数の $v^2$ で足りる。第2部第11章の式 (2.11.23) と同じ結果である。

(5) 地表の時計は $1-GM/(Rc^2)$ なので、差は

$$\frac{\mathrm{d} \tau_{\text{軌道}}}{\mathrm{d} t}-\frac{\mathrm{d} \tau_{\text{地上}}}{\mathrm{d} t}=\frac{GM}{c^2}\Bigl(\frac1R-\frac{3}{2r}\Bigr),\qquad r=R+400\,\mathrm{km}=6778.1\,\mathrm{km}.$$

$GM/c^2=4.435\,\mathrm{mm}$、$1/R-3/(2r)=1.5679\times10^{-7}-2.2130\times10^{-7}=-6.45\times10^{-8}\,\mathrm m^{-1}$ で、差は $-2.86\times10^{-10}$。1日（$86400\,\mathrm s$）あたり $24.7\,\mu\mathrm s$ 遅れる。高度 $400\,\mathrm{km}$ は2つの進みが釣り合う高度 $R/2=3189\,\mathrm{km}$（第2部第11章）より低いので、速さによる遅れが勝つ。地表の時計の自転による遅れ（赤道で $465\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ として $v^2/(2c^2)$ で1日 $0.10\,\mu\mathrm s$）は、この値に比べて小さい（地表の時計どうしの比較は例題 2.12.1）。