出てくるもの3：緩和時間近似と電気伝導

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第3部 第8章 §3.8.5　★★★ 衝突の項を $-(f-f_0)/\tau$ に置き換えると Boltzmann 方程式は線形になり、電気伝導度 $\sigma_{ij}=e^2\tau n\langle (m^{*-1})_{ij} \rangle$ が出る

衝突の項を緩和で置き換える

衝突の項 (3.8.13) は $f$ について2次の積分で、そのまま解くのは難しい。そこで「衝突は $f$ を平衡の分布 $f_0$ へ、時間 $\tau$ で引き戻す」とだけ考え、

$$C[f]\approx-\frac{f-f_0}{\tau}\tag{3.8.20}$$

と置き換える。これを緩和時間近似と呼び、$\tau$ を緩和時間と呼ぶ。外力が無く一様なら $\partial f/\partial t=-(f-f_0)/\tau$ で、$f-f_0$ は $\mathrm{e}^{-t/\tau}$ で減る。

何を $f_0$ に選ぶかが要点で、衝突で何が保存するかに合わせて決める。気体の分子どうしの衝突は粒子数・運動量・エネルギーを保存するので、$f_0$ はその場の $f$ と同じ $n$, $\bm{u}$, $T$ を持つ局所 Maxwell 分布に選ぶ。これを BGK 模型と呼ぶ（Bhatnagar, Gross, Krook（1954）、Physical Review 94、511）。BGK 模型は保存則と H 定理を満たす（例題 3.8.6）。一方、金属の伝導電子が不純物に当たって散乱される場合は、不純物は動かないので電子の運動量は保存しない（不純物が運動量を受け取る）。エネルギーは弾性散乱なら保存する。このとき $f_0$ は静止した（$\bm{u}=0$ の）平衡の分布で、電子は Fermi 粒子なので Fermi 分布

$$f_0(\bm{p})=\frac{2}{h^3}\,\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta(\varepsilon (\bm{p})-\mu)}+1}\tag{3.8.21}$$

である（$2$ はスピンの向き、$1/h^3$ は相空間の升目）。運動量を保存しない $f_0$ を選ぶことで、電子の集団が持つ運動量が時間 $\tau$ で失われ、抵抗が生じる。

電気伝導度

一様な電場 $\bm{E}$ の中の伝導電子（電荷 $-e$）を考える。1粒子の Hamiltonian はバンド $\varepsilon (\bm{p})$ と $e\phi(\bm{r})$ の和で、力は $\bm{F}=-e\bm{E}$、速度は $\bm{v}=\nabla_{\bm{p}}\varepsilon$ である。定常で一様な場合、Boltzmann 方程式 (3.8.13) に式 (3.8.20) を入れると

$$-e\bm{E}\cdot\nabla_{\bm{p}}f=-\frac{f-f_0}{\tau}\tag{3.8.22}$$

となる。電場が弱いとき、左辺の $f$ を $f_0$ で置き換えて1次まで取ると

$$f=f_0+\delta f,\qquad \delta f=e\tau\,\bm{E}\cdot\nabla_{\bm{p}}f_0=e\tau\,(\bm{E}\cdot\bm{v})\,\frac{\partial f_0}{\partial \varepsilon }\tag{3.8.23}$$

を得る。$f_0$ は $\varepsilon$ だけの関数なので $\nabla_{\bm{p}}f_0=\bm{v}\,\partial f_0/\partial\varepsilon$ を使った。$\delta f$ は、$f_0$ を運動量の空間で $-e\bm{E}\tau$ だけずらしたときの1次の変化にあたる（図 3.8.3）。電流密度 $\bm{J}=-e\int\bm{v} f\,\mathrm{d}^3p$ に入れると、$f_0$ の寄与は $\bm{v}$ が奇関数なので消え、

$$J_i=\sum_j\sigma_{ij}E_j,\qquad \sigma_{ij}=e^2\tau\int v_iv_j\Bigl(-\frac{\partial f_0}{\partial \varepsilon }\Bigr)\mathrm{d}^3p\tag{3.8.24}$$

となる。$-\partial f_0/\partial\varepsilon$ は Fermi 面の近く（$\lvert \varepsilon -\mu\rvert \lesssim k_{\mathrm B} T$）だけで大きいので、金属の伝導は Fermi 面の上の電子だけで決まる。

式 (3.8.24) はもう1つの形に書き直すことができる。$v_j\,\partial f_0/\partial\varepsilon =\partial f_0/\partial p_j$ を使って部分積分すると（Brillouin 域の端の項は周期性で消える）

$$\sigma_{ij}=e^2\tau\int f_0\,\frac{\partial v_i}{\partial p_j}\,\mathrm{d}^3p=e^2\tau\,n\,\langle (m^{*-1})_{ij} \rangle _{f_0},\qquad (m^{*-1})_{ij}=\frac{\partial^2\varepsilon }{\partial p_i\partial p_j}\tag{3.8.25}$$

で、$\langle \cdot \rangle _{f_0}$ は $f_0$ による平均である。自由電子 $\varepsilon =\lvert \bm{p}\rvert ^2/(2m)$ なら $(m^{*-1})_{ij}=\delta_{ij}/m$ で、統計（Fermi 分布か Maxwell 分布か）によらず

$$\sigma_{ij}=\frac{ne^2\tau}{m}\,\delta_{ij}\tag{3.8.26}$$

となる。これが Drude の伝導度である。式 (3.8.24) では Fermi 面の電子だけが寄与するのに、式 (3.8.26) には全電子の密度 $n$ が現れる。2つは部分積分で移り合う同じ量で、「Fermi 面の電子が速く動く」ことと「全電子が少しずつずれる」ことは、同じ電流の2通りの数え方である。