授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第3部 第8章 §3.8.6　★★ Drude の運動方程式・気体分子運動論の粘性率と拡散係数は、Boltzmann 方程式に運動量を掛けて積分したもの

Drude の運動方程式

固体物理の授業では、電子の平均の速度 $\bm{v}_{\mathrm d}$ に対する運動方程式

$$m\frac{\mathrm{d} \bm{v}_{\mathrm d}}{\mathrm{d} t}=-e\bm{E}-\frac{m\bm{v}_{\mathrm d}}{\tau}\tag{3.8.27}$$

を立て、定常解 $\bm{v}_{\mathrm d}=-e\tau\bm{E}/m$ から $\bm{J}=-en\bm{v}_{\mathrm d}=(ne^2\tau/m)\bm{E}$ を出す。右辺の第2項は「摩擦」として導入されることが多い。この式は、一様な場合の Boltzmann 方程式 $\partial f/\partial t-e\bm{E}\cdot\nabla_{\bm{p}}f=-(f-f_0)/\tau$ に $\bm{p}$ を掛けて運動量で積分したものである。左辺の第2項は部分積分すると $+e\bm{E}\int f\,\mathrm{d}^3p=en\bm{E}$ になり（移項して $-en\bm{E}$）、右辺は $f_0$ が $\int\bm{p}f_0\,\mathrm{d}^3p=0$ を満たすので $-\frac1\tau\int\bm{p}f\,\mathrm{d}^3p$ である。$\int\bm{p}f\,\mathrm{d}^3p=nm\bm{v}_{\mathrm d}$ と書けば式 (3.8.27) の $n$ 倍になる。「摩擦」と呼んだ項は、運動量を保存しない $f_0$ への緩和である。自由電子でない（$\varepsilon (\bm{p})$ が2次でない）場合は $\int\bm{p}f$ と電流が比例しないので、この手は使えず、式 (3.8.25) の $\langle m^{*-1} \rangle$ が代わりになる。

気体分子運動論の輸送係数

気体分子運動論の授業では、分子が平均自由行程 $\lambda$ だけ飛ぶ間に運んでくる運動量やエネルギーの差を数えて、粘性率・熱伝導率・拡散係数を

$$\eta\approx\frac13nm\bar v\lambda,\qquad D\approx\frac13\bar v\lambda\tag{3.8.28}$$

と見積もる。この「$\frac13\times$速さ$\times$平均自由行程」の形は、緩和時間近似の Boltzmann 方程式を1次まで解くと係数まで含めて出てくる。拡散では、数密度 $n(x)$ が $x$ 方向にゆっくり変わる温度一様の気体に、粒子の数を保つ緩和 $f_0=n(x)G(\bm{p})$ を当てる。定常で1次まで取ると $\delta f=-\tau v_x\,\partial f_0/\partial x$ で、粒子の流れは $\int v_x\delta f\,\mathrm{d}^3p=-\tau\langle v_x^2 \rangle \partial n/\partial x$、すなわち Fick の法則 $-D\,\partial n/\partial x$ で $D=\tau k_{\mathrm B} T/m$ になる。Einstein の関係 $D= k_{\mathrm B} T\mu_{\mathrm e}/e$（移動度 $\mu_{\mathrm e}=e\tau/m$）も、伝導度 (3.8.26) と同じ $\tau$ から同時に出る。$\lambda=\bar v\tau$ を入れると $\frac13\bar v\lambda=\frac13\bar v^2\tau=\frac{8}{3\pi}\frac{ k_{\mathrm B} T}{m}\tau$ で、式 (3.8.28) は係数 $8/(3\pi)=0.849$ だけ違う。初等的な見積もりでは全部の分子が平均の速さで飛ぶとしたが、Boltzmann 方程式では $v_x^2$ の平均を正しく取るので、この比が現れる。

連続の方程式

流体力学や電磁気学の授業の連続の方程式 $\partial\rho_{\mathrm m}/\partial t+\nabla\cdot(\rho_{\mathrm m}\bm{u})=0$、電荷の保存 $\partial\rho_{\mathrm e}/\partial t+\nabla\cdot\bm{J}=0$ は、3.8.4節の式 (3.8.16) で示したとおり、Boltzmann 方程式を運動量で積分したものである。衝突の項が積分で消えるのは粒子数が衝突不変量だからで、Noether の定理で言えば、電荷の保存は第2部第7章の場の位相の変換（第2部第7章）、粒子数の保存は衝突の前後で粒子の数が変わらないことにあたる。緩和時間近似で $f_0$ の密度を $f$ の密度に合わせておかないと（たとえば $f_0$ を固定した Maxwell 分布にすると）、この保存則が破れる。緩和時間近似を使うときは、$f_0$ が何を保存するように選ばれているかを必ず確かめる。