この章のまとめ

(1) 電場も外力も無ければ1粒子の Hamiltonian は $\varepsilon (k)$ だけで、$f_0=C\mathrm{e}^{-\beta\varepsilon (k)}$ はその関数なので $\{\varepsilon ,f_0\}=0$（位置によらず、$\dot k=0$）。衝突の項も平衡の分布で $0$ である。$\mathrm{e}^{-\beta\varepsilon }=\mathrm{e}^{x_\beta\cos ka}$ で、$\int_{-\pi}^{\pi}\mathrm{e}^{x\cos\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{2\pi}=I_0(x)$、$\int_{-\pi}^{\pi}\cos\theta\,\mathrm{e}^{x\cos\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{2\pi}=I_1(x)$ だから$\langle \cos ka \rangle _{f_0}=I_1(x_\beta)/I_0(x_\beta)$。$t_{\mathrm h}>0$ なのでバンドの底は $k=0$ にあり、この平均は正である。

(2) 衝突が無ければ $f$ は $\hbar\dot k=-eE$ の流れに沿って一定で、$k$ は一定の速さ $eE/\hbar$ で負の向きに動くので $f(k,t)=f_0(k+eEt/\hbar)$（$k$ は Brillouin 域で周期的に読む）。速度は $v(k)=\frac{2t_{\mathrm h}a}{\hbar}\sin ka$ で、$k'=k+eEt/\hbar$ と変数を替えると $\sin ka=\sin k'a\cos\omega_{\mathrm B}t-\cos k'a\sin\omega_{\mathrm B}t$、$f_0$ は偶関数なので

$$\langle v \rangle (t)=-\frac{2t_{\mathrm h}a}{\hbar}\,\frac{I_1(x_\beta)}{I_0(x_\beta)}\,\sin\omega_{\mathrm B}t .$$

平均の速度は周期 $2\pi/\omega_{\mathrm B}$ で振動し（Bloch 振動）、時間平均は $0$ である。衝突が無ければ電場をかけても直流の電流は流れない。電子が Brillouin 域の端に達すると速度が反転するからである。

(3) $-\frac{eE}{\hbar}\frac{\partial f}{\partial k}=-\int_0^\infty\frac{\mathrm{d} s}{\tau}\mathrm{e}^{-s/\tau}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} s}f_0(k+eEs/\hbar)$ を部分積分すると$=\frac{f_0(k)}{\tau}-\frac1\tau\int_0^\infty\frac{\mathrm{d} s}{\tau}\mathrm{e}^{-s/\tau}f_0(k+eEs/\hbar)=-\frac{f-f_0}{\tau}$ で、定常の方程式を満たす。この $f$ は「最後の衝突で $f_0$ に戻され、その後の時間 $s$ だけ流れに運ばれた分布」の平均と読むことができる。(2) と同じ変数の取り替えで $\langle \sin ka \rangle _f=-\frac{I_1}{I_0}\int_0^\infty\frac{\mathrm{d} s}{\tau}\mathrm{e}^{-s/\tau}\sin\omega_{\mathrm B}s=-\frac{I_1}{I_0}\frac{\omega_{\mathrm B}\tau}{1+\omega_{\mathrm B}^2\tau^2}$ なので

$$\langle v \rangle =-\frac{2t_{\mathrm h}a}{\hbar}\,\frac{I_1(x_\beta)}{I_0(x_\beta)}\,\frac{\omega_{\mathrm B}\tau}{1+\omega_{\mathrm B}^2\tau^2}.$$

電子は電場と逆向きに流れ、電流 $j=-en\langle v \rangle$ は電場の向きに流れる。

(4) $\omega_{\mathrm B}\tau\ll1$ で $\langle v \rangle \approx-\frac{2t_{\mathrm h}a}{\hbar}\frac{I_1}{I_0}\frac{eEa\tau}{\hbar}$、したがって

$$\frac{j}{E}=ne^2\tau\,\frac{2t_{\mathrm h}a^2}{\hbar^2}\,\frac{I_1(x_\beta)}{I_0(x_\beta)} .$$

一方 $1/m^*=\frac{1}{\hbar^2}\frac{\partial^2\varepsilon }{\partial k^2}=\frac{2t_{\mathrm h}a^2}{\hbar^2}\cos ka$ で、(1) から $\langle 1/m^* \rangle _{f_0}=\frac{2t_{\mathrm h}a^2}{\hbar^2}\frac{I_1}{I_0}$ なので、式 (3.8.25) の $ne^2\tau\langle 1/m^* \rangle$ と一致する。低温（$x_\beta\to\infty$）では $I_1/I_0\to1$ で、バンドの底の有効質量 $m^*=\hbar^2/(2t_{\mathrm h}a^2)$ を使った Drude の伝導度 $ne^2\tau/m^*$ になる。高温（$x_\beta\to0$）では $I_1/I_0\approx x_\beta/2=\beta t_{\mathrm h}$ で、$j/E\approx ne^2\tau\,\frac{2t_{\mathrm h}^2a^2}{\hbar^2 k_{\mathrm B} T}$ と温度に反比例する（$\tau$ を一定とした場合）。バンドの上半分の電子は有効質量が負で、電場を逆向きに受けるので、上半分まで電子が広がる高温では伝導度が下がる。

(5) $\omega_{\mathrm B}\tau/(1+\omega_{\mathrm B}^2\tau^2)$ は $\omega_{\mathrm B}\tau=1$ で最大値 $1/2$ をとるので、電流は $E_{\mathrm c}=\hbar/(ea\tau)$ で最大になる。数値は $E_{\mathrm c}=1.0546\times10^{-34}/(1.602\times10^{-19}\times10^{-8}\times10^{-13})=6.6\times10^{5}\,\mathrm{V\,m^{-1}}$ で、そのときの Bloch 振動の周期は $2\pi\tau=0.63\,\mathrm{ps}$ である。$E>E_{\mathrm c}$ では電場を強くするほど電流が減る（微分伝導度が負）。衝突までの時間 $\tau$ の間に電子が Bloch 振動を1回以上して速度が反転し始めるからである。これは江崎と Tsu が超格子で予言した負性微分抵抗である（Esaki, Tsu（1970）、IBM Journal of Research and Development 14、61）。$a=10\,\mathrm{nm}$ は超格子の周期の大きさで、原子の格子（$a\sim0.3\,\mathrm{nm}$）では $E_{\mathrm c}$ が30倍以上大きくなる。（検算 scripts/verify_ch3-08.py）