当てる道具：Liouville 方程式を粒子1つ分に縮める

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第3部 第8章 §3.8.2　★★★ $N$ 粒子の Liouville 方程式を積分すると、左辺は1粒子の $H_1$ の Liouville 方程式 $\partial f/\partial t-\{H_1,f\}$、右辺は2粒子分布を含む相互作用の項になる

積分して残る項

Liouville 方程式 $\partial\rho/\partial t=\{H,\rho\}$ を粒子ごとの変数で書き、$\nabla_{\bm{r}_a}H=-\bm{F}_a$（$\bm{F}_a$ は粒子 $a$ にはたらく力の合計）と $\nabla_{\bm{p}_a}H=\bm{p}_a/m$ を入れると

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\sum_{a=1}^{N}\Bigl(\frac{\bm{p}_a}{m}\cdot\nabla_{\bm{r}_a}\rho+\bm{F}_a\cdot\nabla_{\bm{p}_a}\rho\Bigr)=0,\qquad \bm{F}_a=-\nabla U(\bm{r}_a)-\sum_{b\ne a}\nabla_{\bm{r}_a}\phi(\lvert \bm{r}_a-\bm{r}_b\rvert )\tag{3.8.5}$$

となる。この両辺に $N$ を掛け、粒子2から $N$ までの変数で積分する。$a\ge2$ の項はすべて消える。$\frac{\bm{p}_a}{m}\cdot\nabla_{\bm{r}_a}\rho$ は $\bm{r}_a$ についての全微分で、$\bm{F}_a\cdot\nabla_{\bm{p}_a}\rho$ も $\bm{F}_a$ が $\bm{p}_a$ を含まないので $\bm{p}_a$ についての全微分であり、どちらも積分すると境界の値になって、容器の壁と運動量の無限遠で $\rho=0$ だから $0$ になる。$a=1$ の項のうち外力の部分は $f$ の微分になり、2体の力の部分は $b=2,\dots,N$ の $N-1$ 個が同じ寄与になって2粒子分布 (3.8.3) になる。結果は

$$\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\bm{p}}{m}\cdot\nabla_{\bm{r}}f-\nabla U\cdot\nabla_{\bm{p}}f =\int\nabla_{\bm{r}}\phi(\lvert \bm{r}-\bm{r}_2\rvert )\cdot\nabla_{\bm{p}}f^{(2)}(\bm{r},\bm{p},\bm{r}_2,\bm{p}_2,t)\,\mathrm{d}^3r_2\,\mathrm{d}^3p_2\tag{3.8.6}$$

である。左辺の第2項と第3項をまとめると、1粒子の Hamiltonian $H_1$ の Poisson 括弧になっている。

$$\{H_1,f\}=\nabla_{\bm{r}}H_1\cdot\nabla_{\bm{p}}f-\nabla_{\bm{p}}H_1\cdot\nabla_{\bm{r}}f=\nabla U\cdot\nabla_{\bm{p}}f-\frac{\bm{p}}{m}\cdot\nabla_{\bm{r}}f .\tag{3.8.7}$$

したがって式 (3.8.6) は

$$\frac{\partial f}{\partial t}-\{H_1,f\}=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial t}\Bigr)_{\mathrm{int}},\qquad \Bigl(\frac{\partial f}{\partial t}\Bigr)_{\mathrm{int}}\coloneqq\int\nabla_{\bm{r}}\phi(\lvert \bm{r}-\bm{r}_2\rvert )\cdot\nabla_{\bm{p}}f^{(2)}\,\mathrm{d}^3r_2\,\mathrm{d}^3p_2\tag{3.8.8}$$

と書ける。左辺は、第1章の Liouville 方程式を $6N$ 次元から6次元へ移し、$H$ を $H_1$ に替えたものそのものである。粒子どうしが相互作用しなければ右辺は $0$ で、$f$ は1粒子の Hamilton 方程式の流れに沿って一定のまま運ばれる。第1章の解 $\rho(z,t)=\rho_0(\varphi_{-t}(z))$ をそのまま $f$ にも使うことができる。

符号は自由粒子で確かめられる。$\bm{F}_a=0$ なら $\rho$ は $\bm{r}_a-\bm{p}_at/m$ の関数として運動量の向きへ流れるはずで、式 (3.8.5) はそれを満たす。

閉じない連鎖

式 (3.8.8) は $f$ だけの方程式になっていない。右辺に2粒子分布 $f^{(2)}$ があり、$f^{(2)}$ の方程式を同じ手順で作ると右辺に3粒子分布が現れる。この連鎖を BBGKY 階層（Bogoliubov・Born・Green・Kirkwood・Yvon の頭文字）と呼ぶ。連鎖をどこかで切って $f$ だけの方程式にするには、$f^{(2)}$ を $f$ で書く仮定が要る。切り方は2通り知られている。

1つは平均場で、$f^{(2)}\approx f\otimes f$ を右辺にそのまま入れる。右辺は $\nabla_{\bm{r}}\bigl(\int\phi\,n(\bm{r}_2)\,\mathrm{d}^3r_2\bigr)\cdot\nabla_{\bm{p}}f$ となり、他の粒子全部が作る平均のポテンシャルを $U$ に足しただけの形になる。これが Vlasov 方程式で、相互作用が弱く遠くまで及ぶとき（プラズマの Coulomb 力・重力）に使う（第3部第7章・近似の数理 第6章）。Vlasov 方程式の左辺もやはり1粒子の Hamiltonian（平均のポテンシャルを含む）の Poisson 括弧なので、$f$ は流れに沿って一定であり、次節で見るような平衡への緩和は起こらない。

もう1つが希薄な気体の Boltzmann 方程式で、相互作用は強いが短距離でまれにしか起きない。このとき2粒子は $r_0$ の範囲に入ってから出るまでの短い時間に大きく向きを変えるので、$f^{(2)}$ を積に置き換えてよいのは「衝突する前の2粒子」についてだけである。次節の衝突の項の形は、この区別によって決まる。

磁場とバンドの場合

1粒子の Hamiltonian を $H_1=\varepsilon (\bm{p})+U(\bm{r})$（$\varepsilon (\bm{p})$ は結晶の中の電子のバンド。$\bm{p}=\hbar\bm{k}$ は結晶運動量）に替えても、積分の手順はそのまま使うことができる。左辺は $\frac{\partial f}{\partial t}+\bm{v}\cdot\nabla_{\bm{r}}f+\bm{F}\cdot\nabla_{\bm{p}}f$ で、速度は Hamilton 方程式 $\bm{v}=\nabla_{\bm{p}}\varepsilon$、力は $\bm{F}=-\nabla U$ である。磁場があるときは、$\bm{p}$ を運動学的な運動量（正準運動量から $q\bm{A}$ を引いたもの）にとり、Lorentz 力 $\bm{F}=q(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B})$ を入れればよい。このとき $\nabla_{\bm{p}}\cdot(\bm{v}\times\bm{B})=\sum_{ijk}\epsilon_{ijk}B_k\,\partial^2\varepsilon /\partial p_i\partial p_j=0$（対称な2階微分と反対称な $\epsilon_{ijk}$ の縮約）なので、運動量の空間でも流れの発散が $0$ で、$\bm{F}\cdot\nabla_{\bm{p}}f=\nabla_{\bm{p}}\cdot(\bm{F}f)$ が成り立つ。これは第2部第2章で見た「$(\bm{r},\bm{p}-q\bm{A})$ でも相空間の体積が保たれる」ことの言い換えである（第2部第2章）。バンドの中の電子の運動そのものは第4部第10章（第4部第10章）で扱う。