授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第1章 §2.1.6　★★ 換算質量の引き算・Kepler の保存則・Euler 方程式・連成振動の行列を、この章の $L$ からの導き方と並べる

解析力学を使わない力学の授業では、この章の4つの系を Newton の運動方程式から次のように扱う。

振動子：$m\ddot x=-kx+F(t)$ を立て、強制振動は特解と一般解の和で解く。周期的な力 $F_0\cos\omega t$ への応答の振幅が $\omega\to\omega_0$ で大きくなる共鳴を主に扱う。この章の式 (2.1.8) は、一般の時刻依存の力について、終わったときのエネルギーを Fourier 成分1つで書いたもので、共鳴の式と同じ内容を時間領域で表している。

2体：$m_1\ddot{\bm{r}}_1=\bm{F}$, $m_2\ddot{\bm{r}}_2=-\bm{F}$（作用反作用）を足して重心の等速運動、それぞれを質量で割って引いて$\ddot{\bm{r}}=(1/m_1+1/m_2)\bm{F}$、つまり $m_{\mathrm r}\ddot{\bm{r}}=\bm{F}$ を出す。この章では $L$ の運動エネルギーを座標変換 (2.1.1) で書き直しただけで同じ分離が出て、作用反作用は $V$ が $\bm{r}_1-\bm{r}_2$ だけによることの帰結になる（第1部第10章の対応の節）。

Kepler 問題：面積速度一定（角運動量）とエネルギーの2つの保存則から動径方向の式を作り、$u=1/r$ に変えて Binet の式を積分して円錐曲線を出す。この章の Runge–Lenz ベクトル (2.1.10) は、その積分の積分定数（離心率と近点の向き）を、初めから保存量として持っていた量である。

剛体：角運動量の時間変化がトルクに等しい $\frac{\mathrm{d} \bm{L}}{\mathrm{d} t}=\bm{N}$ を、剛体に固定した主軸の成分で書く。剛体に固定した座標系は回っているので、$\bm{L}=(I_1\omega_1,I_2\omega_2,I_3\omega_3)$ の成分の時間微分に $\bm{\omega}\times\bm{L}$ が足され、

$$I_1\dot\omega_1=(I_2-I_3)\omega_2\omega_3+N_1,\quad I_2\dot\omega_2=(I_3-I_1)\omega_3\omega_1+N_2,\quad I_3\dot\omega_3=(I_1-I_2)\omega_1\omega_2+N_3\tag{2.1.25}$$

という Euler 方程式になる。この章では Euler 角を一般化座標にとって $L$ (2.1.14) を書いたので、Euler 方程式を通らずに保存量 $p_\varphi$, $p_\psi$, $E$ を直接得た。Euler 方程式は角速度の成分（一般化座標の時間微分ではない量）についての式で、$L$ から出すには剛体の回転の群の上で変分をとる別の道具が要る。

連成振動：ばねでつないだ質点の運動方程式を直交座標で $m\ddot{\bm{x}}=-K\bm{x}$ と行列で書き、$\bm{x}=\bm{a}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ を入れて $\det(K-m\omega^2)=0$ を解く。質量がそろっていれば普通の固有値問題で、この章の一般化固有値問題 (2.1.21) はそれを、質量がそろっていない場合や、振り子の角度のような直交座標でない一般化座標の場合へ広げたものである。剛性行列が $V$ の2階微分で、質量行列が $T$ の係数であるという形で書くと、どちらの場合も同じ手順で扱うことができる。