出てくるもの（2）：剛体と重力の中のこま

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第1章 §2.1.4　★★ 対称なこまでは Euler 角の2つが循環座標になり、残る傾きの角の有効ポテンシャルから歳差運動が出る

Euler 角と角速度

1点を固定した剛体の向きは3つの角で決まる。この本では Euler 角 $(\varphi,\theta,\psi)$ を、空間に固定した $z$ 軸のまわりに $\varphi$、次に回された $x$ 軸のまわりに $\theta$、最後に剛体の対称軸（剛体に固定した第3軸）のまわりに $\psi$ だけ回す順で定める（$z$–$x$–$z$ の順）。$\theta$ は空間の $z$ 軸と剛体の第3軸のなす角、$\varphi$ は第3軸が $z$ 軸のまわりに回った角（歳差の角）、$\psi$ は剛体が自分の軸のまわりに回った角（自転の角）である。回転行列 $R=R_z(\varphi)R_x(\theta)R_z(\psi)$ から剛体に固定した軸の方向の角速度の成分を計算すると（$R^{\mathsf T}\dot R$ の反対称成分を読む）

$$\omega_1=\dot\varphi\sin\theta\sin\psi+\dot\theta\cos\psi,\quad \omega_2=\dot\varphi\sin\theta\cos\psi-\dot\theta\sin\psi,\quad \omega_3=\dot\varphi\cos\theta+\dot\psi\tag{2.1.13}$$

となる。第3軸のまわりに軸対称な剛体（対称こま、$I_1=I_2$）では、回転の運動エネルギーに入るのは $\omega_1^2+\omega_2^2=\dot\theta^2+\dot\varphi^2\sin^2\theta$ と $\omega_3$ だけで、$\psi$ が消える。

重力の中の対称こま

固定点 O から重心までの距離を $\ell$、O のまわりの主慣性モーメントを $I_1=I_2$, $I_3$ とし、重力の中に置く。重心の高さは $\ell\cos\theta$ なので

$$L=\frac{I_1}{2}\bigl(\dot\theta^2+\dot\varphi^2\sin^2\theta\bigr)+\frac{I_3}{2}\bigl(\dot\psi+\dot\varphi\cos\theta\bigr)^2-Mg\ell\cos\theta\tag{2.1.14}$$

である。$L$ は $\varphi$ と $\psi$ を含まないので、2つが循環座標で（手順1）

$$p_\psi=I_3\bigl(\dot\psi+\dot\varphi\cos\theta\bigr)=I_3\omega_3,\qquad p_\varphi=I_1\dot\varphi\sin^2\theta+p_\psi\cos\theta\tag{2.1.15}$$

が保存する。$p_\psi$ は対称軸のまわりの角運動量、$p_\varphi$ は空間の $z$ 軸のまわりの角運動量で、どちらも対応する回転対称性（こまの軸対称性と、重力の向きのまわりの回転）の Noether の保存量である。$L$ は時刻を含まず、$T$ は速度の2次の同次式なので $E=T+V$ も保存する（手順2）。

$\dot\varphi=(p_\varphi-p_\psi\cos\theta)/(I_1\sin^2\theta)$ と $\omega_3=p_\psi/I_3$ を $E$ に入れると、$\theta$ だけの式

$$E-\frac{p_\psi^2}{2I_3}=\frac{I_1}{2}\dot\theta^2+U_{\mathrm{eff}}(\theta),\qquad U_{\mathrm{eff}}(\theta)=\frac{(p_\varphi-p_\psi\cos\theta)^2}{2I_1\sin^2\theta}+Mg\ell\cos\theta\tag{2.1.16}$$

になる（手順3。$E$ は $H$ と同じ量で、保存量を運動量のまま固定している）。$\theta$ は $U_{\mathrm{eff}}$ の谷の中を往復し、その往復を章動と呼ぶ。

定常歳差

$\theta$ が一定の値 $\theta_0$ のまま、対称軸が一定の角速度 $\dot\varphi=\Omega$ で $z$ 軸のまわりを回る運動を定常歳差と呼ぶ。$\theta$ の Euler–Lagrange 方程式 $I_1\ddot\theta=\partial L/\partial\theta$ に $\ddot\theta=0$, $\dot\theta=0$, $\dot\varphi=\Omega$, $\omega_3$ 一定を入れ、$\sin\theta_0\neq0$ で割ると

$$I_1\cos\theta_0\,\Omega^2-I_3\omega_3\,\Omega+Mg\ell=0\tag{2.1.17}$$

を得る。$\Omega$ についての2次方程式で、実数の解があるのは判別式が正、つまり $I_3\omega_3>2\sqrt{I_1Mg\ell\cos\theta_0}$ のとき（$\theta_0<\pi/2$）に限る。自転が遅いこまは、どの角速度で歳差運動させても重力のトルクを支えられずに倒れる。2つの解は

$$\Omega_\pm=\frac{I_3\omega_3}{2I_1\cos\theta_0}\Bigl(1\pm\sqrt{1-\epsilon}\Bigr),\qquad \epsilon=\frac{4I_1Mg\ell\cos\theta_0}{(I_3\omega_3)^2}\tag{2.1.18}$$

で、自転が速い（$\epsilon\ll1$）とき遅い方は

$$\Omega_-=\frac{Mg\ell}{I_3\omega_3}\Bigl(1+\frac\epsilon4+\mathcal{O}(\epsilon^2)\Bigr)\tag{2.1.19}$$

となる。主要項 $\Omega_-\approx Mg\ell/(I_3\omega_3)$ は、「重力のトルク $Mg\ell\sin\theta_0$ が、大きさ $I_3\omega_3$ の角運動量の水平成分 $I_3\omega_3\sin\theta_0$ を回す」という初等的な説明の式と同じである。その説明は角運動量を対称軸の向きの $I_3\omega_3$ だけで近似しており、歳差運動そのものが持つ角運動量 $I_1\Omega$ を落としている。式 (2.1.19) の補正 $\epsilon/4$ はその落としたぶんにあたる。