解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第10章 §1.10.6 ★★ 作用反作用・トルク・仕事とエネルギーの定理による3つの導出と、循環座標による書き方を、この章の定理と並べる
運動量・角運動量・エネルギーの初等的な導き方
解析力学を使わない力学の授業では、3つの保存則を Newton の運動方程式 m a r ¨ a = F a m_a\ddot{\bm{r}}_a=\bm{F}_a m a r ¨ a = F a
保存量 初等的な導き方（仮定） この章の導き方（仮定） 全運動量 P \bm{P} P P ˙ = ∑ a F a \dot{\bm{P}}=\sum_a\bm{F}_a P ˙ = ∑ a F a F a b = − F b a \bm{F}_{ab}=-\bm{F}_{ba} F ab = − F ba V V V δ L = 0 \delta L=0 δ L = 0 角運動量 L \bm{L} L L ˙ = ∑ a r a × F a \dot{\bm{L}}=\sum_a\bm{r}_a\times\bm{F}_a L ˙ = ∑ a r a × F a V V V δ L = 0 \delta L=0 δ L = 0 エネルギー d d t m 2 r ˙ 2 = F ⋅ r ˙ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac m2\dot{\bm{r}}^{\,2}=\bm{F}\cdot\dot{\bm{r}} d t d 2 m r ˙ 2 = F ⋅ r ˙ F = − ∇ V \bm{F}=-\nabla V F = − ∇ V V V V L L L
全運動量の行を比べる。初等的な導き方では、作用反作用の法則を力についての独立の法則として仮定する。この章の導き方では、仮定は V V V V = U ( r 1 − r 2 ) V=U(\bm{r}_1-\bm{r}_2) V = U ( r 1 − r 2 ) F 1 = − ∇ 1 V = − ∇ U \bm{F}_1=-\nabla_1V=-\nabla U F 1 = − ∇ 1 V = − ∇ U F 2 = − ∇ 2 V = + ∇ U \bm{F}_2=-\nabla_2V=+\nabla U F 2 = − ∇ 2 V = + ∇ U F 1 = − F 2 \bm{F}_1=-\bm{F}_2 F 1 = − F 2 第2部第7章 ）。
角運動量の行でも同じで、「中心力」という力の性質の代わりに「V V V L L L L L L 1.10.4 節の回る輪のように、二つの仮定がずれる系では保存する量も変わり、この章の導き方では E E E H H H
循環座標
解析力学の教科書の多くは、Noether の定理を次の形で述べる。L L L q k q_k q k ∂ L / ∂ q k = 0 \partial L/\partial q_k=0 ∂ L / ∂ q k = 0 q k q_k q k 循環座標 と呼び、Euler–Lagrange 方程式 d d t ∂ L ∂ q ˙ k = ∂ L ∂ q k = 0 \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}=\frac{\partial L}{\partial q_k}=0 d t d ∂ q ˙ k ∂ L = ∂ q k ∂ L = 0 p k p_k p k
これは定理 1.10.2 で q k q_k q k ϵ \epsilon ϵ K i = δ i k K_i=\delta_{ik} K i = δ ik Q = ∑ i p i K i = p k Q=\sum_ip_iK_i=p_k Q = ∑ i p i K i = p k φ \varphi φ ∑ i p i K i \sum_ip_iK_i ∑ i p i K i
「変換の向きに沿って測る座標」は、次のように作る。変換の向き K i ( q ) K_i(q) K i ( q ) X = ∑ i K i ∂ / ∂ q i X=\sum_iK_i\,\partial/\partial q_i X = ∑ i K i ∂ / ∂ q i ( s , u 1 , … , u f − 1 ) (s,u_1,\dots,u_{f-1}) ( s , u 1 , … , u f − 1 )
X s = 1 , X u j = 0 ( j = 1 , … , f − 1 ) Xs=1,\qquad Xu_j=0\quad(j=1,\dots,f-1) X s = 1 , X u j = 0 ( j = 1 , … , f − 1 )
を満たすように選ぶ。s s s u j u_j u j
この座標では、変換は「s s s ϵ \epsilon ϵ δ L = 0 \delta L=0 δ L = 0 s s s s s s (1.10.10) はそれに共役な運動量 p s p_s p s K K K 0 0 0 流れの箱の定理 ）。
回転から極座標が出る
平面の回転は K = ( − y , x ) K=(-y,x) K = ( − y , x ) X = − y ∂ x + x ∂ y X=-y\,\partial_x+x\,\partial_y X = − y ∂ x + x ∂ y X ( x 2 + y 2 ) = − 2 x y + 2 x y = 0 X(x^2+y^2)=-2xy+2xy=0 X ( x 2 + y 2 ) = − 2 x y + 2 x y = 0 u u u r = x 2 + y 2 r=\sqrt{x^2+y^2} r = x 2 + y 2 φ \varphi φ X φ = ( y 2 + x 2 ) / r 2 = 1 X\varphi=(y^2+x^2)/r^2=1 X φ = ( y 2 + x 2 ) / r 2 = 1
こうして極座標が条件 X s = 1 Xs=1 X s = 1 X u = 0 Xu=0 X u = 0 p φ = L z p_\varphi=L_z p φ = L z 1.10.7 で確かめる。原点では K = 0 K=0 K = 0 第1部第2章 の球面振り子の極と同じ事情）。
流れの箱の定理と、対称性から循環座標を作る手順は、詳しくは基礎理論『物理のための微分幾何入門』第13章 §13.5 で扱う。
例題 1.10.7 極座標の循環座標と面積速度 ★★
オリジナル 平面上で中心力 V ( r ) V(r) V ( r ) m m m
(1) 極座標 ( r , φ ) (r,\varphi) ( r , φ ) L L L p φ p_\varphi p φ (2) p φ p_\varphi p φ L z = x p y − y p x L_z=xp_y-yp_x L z = x p y − y p x (3) 原点と質点を結ぶ線分が単位時間に掃く面積（面積速度）d A d t = 1 2 r 2 φ ˙ \frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}=\frac12r^2\dot\varphi d t d A = 2 1 r 2 φ ˙ m = 2 k g m=2\,\mathrm{kg} m = 2 kg r = 3 m r=3\,\mathrm m r = 3 m φ ˙ = 0.5 s − 1 \dot\varphi=0.5\,\mathrm{s^{-1}} φ ˙ = 0.5 s − 1 r = 1 m r=1\,\mathrm m r = 1 m φ ˙ \dot\varphi φ ˙
解答 (1) x ˙ 2 + y ˙ 2 = r ˙ 2 + r 2 φ ˙ 2 \dot x^2+\dot y^2=\dot r^2+r^2\dot\varphi^2 x ˙ 2 + y ˙ 2 = r ˙ 2 + r 2 φ ˙ 2 L = m 2 ( r ˙ 2 + r 2 φ ˙ 2 ) − V ( r ) L=\frac m2(\dot r^2+r^2\dot\varphi^2)-V(r) L = 2 m ( r ˙ 2 + r 2 φ ˙ 2 ) − V ( r ) L L L φ \varphi φ φ \varphi φ p φ = ∂ L / ∂ φ ˙ = m r 2 φ ˙ p_\varphi=\partial L/\partial\dot\varphi=mr^2\dot\varphi p φ = ∂ L / ∂ φ ˙ = m r 2 φ ˙ δ φ = ϵ \delta\varphi=\epsilon δ φ = ϵ Q = p φ ⋅ 1 Q=p_\varphi\cdot1 Q = p φ ⋅ 1
(2) x = r cos φ x=r\cos\varphi x = r cos φ y = r sin φ y=r\sin\varphi y = r sin φ x y ˙ − y x ˙ = r cos φ ( r ˙ sin φ + r φ ˙ cos φ ) − r sin φ ( r ˙ cos φ − r φ ˙ sin φ ) = r 2 φ ˙ x\dot y-y\dot x=r\cos\varphi(\dot r\sin\varphi+r\dot\varphi\cos\varphi)-r\sin\varphi(\dot r\cos\varphi-r\dot\varphi\sin\varphi)=r^2\dot\varphi x y ˙ − y x ˙ = r cos φ ( r ˙ sin φ + r φ ˙ cos φ ) − r sin φ ( r ˙ cos φ − r φ ˙ sin φ ) = r 2 φ ˙ L z = m ( x y ˙ − y x ˙ ) = m r 2 φ ˙ = p φ L_z=m(x\dot y-y\dot x)=mr^2\dot\varphi=p_\varphi L z = m ( x y ˙ − y x ˙ ) = m r 2 φ ˙ = p φ ( − y , x ) (-y,x) ( − y , x ) 1.10.2 ）と一致する。
(3) d A d t = 1 2 r 2 φ ˙ = p φ 2 m \frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}=\frac12r^2\dot\varphi=\frac{p_\varphi}{2m} d t d A = 2 1 r 2 φ ˙ = 2 m p φ p φ p_\varphi p φ p φ = 2 ⋅ 9 ⋅ 0.5 = 9 k g m 2 s − 1 p_\varphi=2\cdot9\cdot0.5=9\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}} p φ = 2 ⋅ 9 ⋅ 0.5 = 9 kg m 2 s − 1 9 / ( 2 ⋅ 2 ) = 2.25 m 2 s − 1 9/(2\cdot2)=2.25\,\mathrm{m^2\,s^{-1}} 9/ ( 2 ⋅ 2 ) = 2.25 m 2 s − 1 r = 1 m r=1\,\mathrm m r = 1 m φ ˙ = p φ / ( m r 2 ) = 4.5 s − 1 \dot\varphi=p_\varphi/(mr^2)=4.5\,\mathrm{s^{-1}} φ ˙ = p φ / ( m r 2 ) = 4.5 s − 1 1 / 3 1/3 1/3
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
