出てくるもの（3）：保存量は対称性の生成子

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第10章 §1.10.5　★★★ $Q$ を生成子として相空間を動かすと元の変換が戻り、$H$ がその動きで変わらないことと $Q$ の保存は同値

保存量で相空間を動かす

Noether の保存量 (1.10.10) を正準変数 $(q,p)$ の関数として見る。点変換（$K_i$ と $\Lambda$ が $q$, $t$ だけによる）なら

$$Q(q,p,t)=\sum_ip_iK_i(q,t)-\Lambda(q,t)\tag{1.10.19}$$

で、$p$ について1次式である。これを生成子として式 (1.10.7) で相空間を動かすと、

$$\delta q_i=\epsilon\frac{\partial Q}{\partial p_i}=\epsilon K_i,\qquad \delta p_i=-\epsilon\frac{\partial Q}{\partial q_i}=-\epsilon\Bigl(\sum_jp_j\frac{\partial K_j}{\partial q_i}-\frac{\partial \Lambda}{\partial q_i}\Bigr)\tag{1.10.20}$$

となる。座標の動きは、出発点にした変換 (1.10.1) と一致する。保存量 $Q$ は、出発点の変換の生成子になっている。章の題の「生成子が保存する」はこの事実を指している。$\Lambda$ は $p$ を含まないので、準対称性でも座標の動きは変わらない。

運動量の動き $\delta p_i$ は、座標を点変換したときに運動量がどう変わるかを表す。並進（$K$ が定数、$\Lambda=0$）では $\delta p=0$ で、運動量はずらしても変わらない。平面内の回転 $Q=L_z=xp_y-yp_x$ では $\delta p_x=-\epsilon p_y$, $\delta p_y=\epsilon p_x$ で、運動量のベクトルも位置と同じ角度だけ回る。時刻の並進では保存量は $H$ で、$H$ を生成子にした動き $\delta q_i=\epsilon\,\partial H/\partial p_i$, $\delta p_i=-\epsilon\,\partial H/\partial q_i$ は、$\epsilon=\mathrm{d} t$ とおけば Hamilton 方程式、すなわち時間発展である（第1部第9章）。エネルギーが時間発展の生成子であることも、同じ対応の1つの場合になっている。

逆向き：$H$ が変わらないことと $G$ の保存は同値

Hamilton 形式では、出発点を逆にした主張が成り立つ。相空間の関数 $G(q,p,t)$ を1つ取り、式 (1.10.7) の動きで Hamiltonian $H(q,p,t)$ がどれだけ変わるかを計算すると

$$\delta H=\sum_i\Bigl(\frac{\partial H}{\partial q_i}\delta q_i+\frac{\partial H}{\partial p_i}\delta p_i\Bigr)=\epsilon\sum_i\Bigl(\frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial G}{\partial p_i}-\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial G}{\partial q_i}\Bigr)\tag{1.10.21}$$

となる。一方、Hamilton 方程式 $\dot q_i=\partial H/\partial p_i$, $\dot p_i=-\partial H/\partial q_i$ に沿った $G$ の時間変化は

$$\frac{\mathrm{d} G}{\mathrm{d} t}=\sum_i\Bigl(\frac{\partial G}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial G}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\Bigr)+\frac{\partial G}{\partial t}$$

で、和の部分は式 (1.10.21) の和と符号だけが違う。したがって

$$\delta H=-\epsilon\Bigl(\frac{\mathrm{d} G}{\mathrm{d} t}-\frac{\partial G}{\partial t}\Bigr)\tag{1.10.22}$$

が成り立つ。

式 (1.10.21) の和 $\sum_i(\partial_{q_i}A\,\partial_{p_i}B-\partial_{p_i}A\,\partial_{q_i}B)$ は、第1部第11章で Poisson 括弧 $\{A,B\}$ と名前を付ける量で、命題は「$\{H,G\}=0$ と $\{G,H\}=0$ が同じ式」と読める。$G$ で動かしたときの $H$ の変化と、$H$ で動かした（時間発展させた）ときの $G$ の変化は、符号を除いて同じ量である。量子力学では Poisson 括弧が交換子に置き換わり、命題は「$[\hat G,\hat H]=0$ なら $\hat G$ の期待値が保存する」になる（第4部第5章）。

Lagrangian の側の定理 1.10.2 と比べると、Hamilton の側では $G$ が $p$ について1次である必要がない。座標と運動量を混ぜる変換も対称性として扱えるので、点変換では見えない保存量も同じ形で扱える。