この章のまとめ

(1) 式 (3.1.12) から $\hat K_a=(\mathbf 1\otimes\langle a |)\hat U(\mathbf 1\otimes| 0 \rangle )$。$| 0 \rangle _A$ の行き先は $| 0 \rangle | 0 \rangle$、$| 1 \rangle _A$ の行き先は $\frac{1}{\sqrt2}(| 1 \rangle | 0 \rangle +| 0 \rangle | 1 \rangle )$ なので、$E$ の $\langle 0 |$ をとると $| 0 \rangle \mapsto| 0 \rangle$、$| 1 \rangle \mapsto| 1 \rangle /\sqrt2$、$E$ の $\langle 1 |$ をとると $| 0 \rangle \mapsto0$、$| 1 \rangle \mapsto| 0 \rangle /\sqrt2$。よって

$$\hat K_0=\begin{pmatrix}1&0\\0&1/\sqrt2\end{pmatrix},\qquad \hat K_1=\frac{1}{\sqrt2}| 0 \rangle \langle 1 |,\qquad \hat K_0^\dagger\hat K_0+\hat K_1^\dagger\hat K_1=\mathrm{diag}\bigl(1,\tfrac12\bigr)+\mathrm{diag}\bigl(0,\tfrac12\bigr)=\mathbf 1 .$$

これは振幅減衰 (3.1.8) の $\gamma=1/2$ である。

(2) 式 (3.1.9) で $\gamma=1/2$ として $(r_x,r_y,r_z)\mapsto\bigl(r_x/\sqrt2,\ r_y/\sqrt2,\ (1+r_z)/2\bigr)$。不動点は $r_x=r_y=0$、$r_z=(1+r_z)/2$ から $\bm{r}=(0,0,1)$、すなわち $| 0 \rangle$ だけである。$1-r_z$ は1回ごとに $1/2$ 倍になるので、$n$ 回後は $1-r_z=(1-r_z^{(0)})/2^n$。$| 1 \rangle$（$r_z=-1$）から5回で $r_z=1-2/32=0.9375$。

(3) Kraus 演算子が2つなので Choi 行列の階数は2以下。式 (3.1.14) で計算すると $C=\frac12\sum_a(\mathbf 1\otimes\hat K_a)| \Phi_2 \rangle \langle \Phi_2 |(\mathbf 1\otimes\hat K_a)^\dagger$（$| \Phi_2 \rangle =| 00 \rangle +| 11 \rangle$）で、$a=0$ の項は $\frac12(| 00 \rangle +\tfrac{1}{\sqrt2}| 11 \rangle )(\cdots)^\dagger$、$a=1$ の項は $\frac12\cdot\frac12| 10 \rangle \langle 10 |$。2つのベクトルは直交するので固有値は$\frac12\bigl(1+\tfrac12\bigr)=\frac34$ と $\frac14$、残り2つは $0$。すべて非負なので完全正値である（定理 3.1.6）。$A$ 側の部分トレースは、$R$ が $| 0 \rangle$ のブロックで $\frac12$、$| 1 \rangle$ のブロックで $\frac12\bigl(\tfrac12+\tfrac12\bigr)=\frac12$、非対角は $0$ なので $\operatorname{Tr}_AC=\mathbf 1/2$ で、トレースを保つ。

(4) 量子ビットでは $T$ は Bloch ベクトルの距離の半分である。$| \pm \rangle$ の像は $(\pm1/\sqrt2,0,1/2)$ なので $T$ は $1$ から $1/\sqrt2=0.7071$ へ下がり、最善の成功確率は $1$ から $0.8536$ へ下がる。$| 0 \rangle ,| 1 \rangle$ の像は $(0,0,1)$ と $(0,0,0)$ なので $T$ は $1$ から $1/2$ へ、成功確率は $1$ から $0.75$ へ下がる。どちらも定理 3.1.9 のとおり増えていない。

(5) 対角の状態への作用は $W=\begin{pmatrix}1&1/2\\0&1/2\end{pmatrix}$（列の和が $1$）。$Wp=(\tfrac14+\tfrac38,\ \tfrac38)=(\tfrac58,\tfrac38)$、$Wq=(\tfrac34+\tfrac18,\ \tfrac18)=(\tfrac78,\tfrac18)$。

$$D(p\,\|\,q)=\tfrac14\ln\tfrac13+\tfrac34\ln3=\tfrac12\ln3=0.5493,\qquad D(Wp\,\|\,Wq)=\tfrac58\ln\tfrac57+\tfrac38\ln3=0.2017$$

で、$D(Wp\,\|\,Wq)\le D(p\,\|\,q)$ が成り立つ。トレース距離は前が $\frac12(\tfrac12+\tfrac12)=\frac12$、後が $\frac12\bigl(\lvert \tfrac58-\tfrac78\rvert +\lvert \tfrac38-\tfrac18\rvert \bigr)=\frac14$ で、対角の状態どうしなのでそれぞれ全変動距離と同じ値である。トレース距離も相対エントロピーも、同じ処理で減っている。

(6) $\hat U(| + \rangle | 0 \rangle )=\frac{1}{\sqrt2}| 0 \rangle | 0 \rangle +\frac12(| 1 \rangle | 0 \rangle +| 0 \rangle | 1 \rangle )=| 0 \rangle _A\otimes\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}| 0 \rangle +\tfrac12| 1 \rangle \bigr)_E+\tfrac12| 1 \rangle _A| 0 \rangle _E$。$A$ の状態は (2) の Bloch ベクトル $(1/\sqrt2,0,1/2)$ を持ち $\hat\rho_A=\begin{pmatrix}3/4&\sqrt2/4\\\sqrt2/4&1/4\end{pmatrix}$。$E$ の状態は、$E$ の基底でまとめ直すと $| 0 \rangle _E$ の係数が $\tfrac{1}{\sqrt2}| 0 \rangle _A+\tfrac12| 1 \rangle _A$、$| 1 \rangle _E$ の係数が $\tfrac12| 0 \rangle _A$ なので$\hat\rho_E=\begin{pmatrix}3/4&\sqrt2/4\\\sqrt2/4&1/4\end{pmatrix}$ で、$\hat\rho_A$ と同じ行列になる。純粋度はどちらも $(9+2+2+1)/16=7/8$。全体 $AE$ は純粋状態なので、3.1.2節で見たとおり $\hat\rho_A$ と $\hat\rho_E$ は同じ固有値を持ち、純粋度も等しい。$A$ が混ざった分だけ、$E$ が $A$ ともつれて情報を持っている。