相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第5部 第2章 §5.2.2 ★★★ 縮退した基底状態の部分系の D D D 0 0 0 0 0 0
部分トレースもデータ処理である
全体の状態 ρ ^ \hat\rho ρ ^ A A A ρ ^ A = Tr A ˉ ρ ^ \hat\rho_A=\operatorname{Tr}_{\bar A}\hat\rho ρ ^ A = Tr A ˉ ρ ^ 第3部第1章 ）。A ⊂ A ′ A\subset A' A ⊂ A ′ ρ ^ A \hat\rho_A ρ ^ A ρ ^ A ′ \hat\rho_{A'} ρ ^ A ′ 第3部第3章 ）から
D ( ρ ^ A ∥ σ ^ A ) ≤ D ( ρ ^ A ′ ∥ σ ^ A ′ ) ≤ D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) ( A ⊂ A ′ ) (5.2.7) D(\hat\rho_A\,\|\,\hat\sigma_A)\le D(\hat\rho_{A'}\,\|\,\hat\sigma_{A'})\le D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)\qquad(A\subset A')\tag{5.2.7} D ( ρ ^ A ∥ σ ^ A ) ≤ D ( ρ ^ A ′ ∥ σ ^ A ′ ) ≤ D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) ( A ⊂ A ′ ) ( 5.2.7 )
が成り立つ。見る範囲を狭めると、2つの状態の見分けやすさは減ることはあっても増えることはない。この章の関心は、この不等式がどれだけ 弱くなるかである。トーリック符号の ∣ ψ + + ⟩ | \psi_{++} \rangle ∣ ψ ++ ⟩ ∣ ψ − + ⟩ | \psi_{-+} \rangle ∣ ψ −+ ⟩ + ∞ +\infty + ∞ 0 0 0
定理 5.2.1（局所的に区別できないことの3つの言い方 ★★★）
符号空間 C \mathcal C C dim C = K \dim\mathcal C=K dim C = K P ^ \hat P P ^ A A A
(i) A A A O ^ A \hat O_A O ^ A P ^ O ^ A P ^ = c ( O ^ A ) P ^ \hat P\hat O_A\hat P=c(\hat O_A)\,\hat P P ^ O ^ A P ^ = c ( O ^ A ) P ^ c c c (ii) C \mathcal C C ρ ^ , σ ^ \hat\rho,\hat\sigma ρ ^ , σ ^ ρ ^ A = σ ^ A \hat\rho_A=\hat\sigma_A ρ ^ A = σ ^ A D ( ρ ^ A ∥ σ ^ A ) = 0 D(\hat\rho_A\,\|\,\hat\sigma_A)=0 D ( ρ ^ A ∥ σ ^ A ) = 0 (iii) C \mathcal C C R R R I ( R ; A ) = D ( ρ ^ R A ∥ ρ ^ R ⊗ ρ ^ A ) = 0 I(R;A)=D(\hat\rho_{RA}\,\|\,\hat\rho_R\otimes\hat\rho_A)=0 I ( R ; A ) = D ( ρ ^ R A ∥ ρ ^ R ⊗ ρ ^ A ) = 0
証明 (i)⇒ \Rightarrow ⇒ ρ ^ = P ^ ρ ^ P ^ \hat\rho=\hat P\hat\rho\hat P ρ ^ = P ^ ρ ^ P ^ Tr ( ρ ^ A O ^ A ) = Tr ( ρ ^ O ^ A ) = Tr ( ρ ^ P ^ O ^ A P ^ ) = c ( O ^ A ) Tr ρ ^ = c ( O ^ A ) \operatorname{Tr}(\hat\rho_A\hat O_A)=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat O_A)=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P\hat O_A\hat P)=c(\hat O_A)\operatorname{Tr}\hat\rho=c(\hat O_A) Tr ( ρ ^ A O ^ A ) = Tr ( ρ ^ O ^ A ) = Tr ( ρ ^ P ^ O ^ A P ^ ) = c ( O ^ A ) Tr ρ ^ = c ( O ^ A ) ρ ^ \hat\rho ρ ^ O ^ A \hat O_A O ^ A ρ ^ A \hat\rho_A ρ ^ A σ ^ A \hat\sigma_A σ ^ A ρ ^ A = σ ^ A \hat\rho_A=\hat\sigma_A ρ ^ A = σ ^ A
(ii)⇒ \Rightarrow ⇒ C \mathcal C C ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ O ^ A ∣ ψ ⟩ \langle \psi | \hat O_A | \psi \rangle ⟨ ψ ∣ O ^ A ∣ ψ ⟩ c c c ∣ ψ ⟩ ↦ ⟨ ψ ∣ O ^ A − c ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle \mapsto\langle \psi | \hat O_A-c | \psi \rangle ∣ ψ ⟩ ↦ ⟨ ψ ∣ O ^ A − c ∣ ψ ⟩ C \mathcal C C 0 0 0 M ^ = O ^ A − c \hat M=\hat O_A-c M ^ = O ^ A − c ⟨ ψ ∣ M ^ ∣ ϕ ⟩ = 1 4 ∑ k = 0 3 i − k ⟨ χ k ∣ M ^ ∣ χ k ⟩ \langle \psi | \hat M | \phi \rangle =\frac14\sum_{k=0}^{3}\mathrm{i}^{-k}\langle \chi_k | \hat M | \chi_k \rangle ⟨ ψ ∣ M ^ ∣ ϕ ⟩ = 4 1 ∑ k = 0 3 i − k ⟨ χ k ∣ M ^ ∣ χ k ⟩ ∣ χ k ⟩ = ∣ ψ ⟩ + i k ∣ ϕ ⟩ | \chi_k \rangle =| \psi \rangle +\mathrm{i}^k| \phi \rangle ∣ χ k ⟩ = ∣ ψ ⟩ + i k ∣ ϕ ⟩ 0 0 0 ∣ χ k ⟩ | \chi_k \rangle ∣ χ k ⟩ C \mathcal C C C \mathcal C C M ^ \hat M M ^ 0 0 0 P ^ ( O ^ A − c ) P ^ = 0 \hat P(\hat O_A-c)\hat P=0 P ^ ( O ^ A − c ) P ^ = 0
(ii)⇔ \Leftrightarrow ⇔ C \mathcal C C ∣ i L ⟩ | i_{\mathrm L} \rangle ∣ i L ⟩ i = 1 , … , K i=1,\dots,K i = 1 , … , K ∣ Φ ⟩ = K − 1 / 2 ∑ i ∣ i ⟩ R ∣ i L ⟩ | \Phi \rangle =K^{-1/2}\sum_i| i \rangle _R| i_{\mathrm L} \rangle ∣Φ ⟩ = K − 1/2 ∑ i ∣ i ⟩ R ∣ i L ⟩
ρ ^ R A = 1 K ∑ i , j ∣ i ⟩ ⟨ j ∣ R ⊗ Tr A ˉ ( ∣ i L ⟩ ⟨ j L ∣ ) . \hat\rho_{RA}=\frac1K\sum_{i,j}| i \rangle \langle j |_R\otimes\operatorname{Tr}_{\bar A}\bigl(| i_{\mathrm L} \rangle \langle j_{\mathrm L} |\bigr). ρ ^ R A = K 1 i , j ∑ ∣ i ⟩ ⟨ j ∣ R ⊗ Tr A ˉ ( ∣ i L ⟩ ⟨ j L ∣ ) .
I ( R ; A ) = 0 I(R;A)=0 I ( R ; A ) = 0 ρ ^ R A = ρ ^ R ⊗ ρ ^ A = 1 R K ⊗ ρ ^ A \hat\rho_{RA}=\hat\rho_R\otimes\hat\rho_A=\frac{\mathbf 1_R}{K}\otimes\hat\rho_A ρ ^ R A = ρ ^ R ⊗ ρ ^ A = K 1 R ⊗ ρ ^ A D D D 0 0 0 Tr A ˉ ( ∣ i L ⟩ ⟨ j L ∣ ) = δ i j ρ ^ A \operatorname{Tr}_{\bar A}(| i_{\mathrm L} \rangle \langle j_{\mathrm L} |)=\delta_{ij}\hat\rho_A Tr A ˉ ( ∣ i L ⟩ ⟨ j L ∣ ) = δ ij ρ ^ A O ^ A \hat O_A O ^ A ⟨ j L ∣ O ^ A ∣ i L ⟩ = δ i j Tr ( ρ ^ A O ^ A ) \langle j_{\mathrm L} | \hat O_A | i_{\mathrm L} \rangle =\delta_{ij}\operatorname{Tr}(\hat\rho_A\hat O_A) ⟨ j L ∣ O ^ A ∣ i L ⟩ = δ ij Tr ( ρ ^ A O ^ A )
(i) は 第3部第9章 の Knill–Laflamme 条件で、誤りの集合を「A A A A A A A A A
トーリック符号ではどの小さな領域でも D = 0 D=0 D = 0
トーリック符号で (i) を確かめる。O ^ A \hat O_A O ^ A E E E E E E 第3部第9章 の議論どおり P ^ E P ^ = 0 \hat PE\hat P=0 P ^ E P ^ = 0 E E E S \mathcal S S L L L A A A トーラスを一周する輪を含まない なら（とくに ∣ A ∣ < L \lvert A\rvert <L ∣ A ∣ < L E E E S \mathcal S S P ^ E P ^ = ± P ^ \hat PE\hat P=\pm\hat P P ^ E P ^ = ± P ^ P ^ \hat P P ^
こうして、トーラスを一周しない領域 A A A A A A A A A D ( ρ ^ A ∥ σ ^ A ) D(\hat\rho_A\,\|\,\hat\sigma_A) D ( ρ ^ A ∥ σ ^ A ) 0 0 0 A A A (5.2.7) の単調性は保たれているが、増え方は連続でなく、一度に跳ぶ（例題 5.2.2 ）。
定義 5.2.2（位相秩序）
系の大きさ L L L C L \mathcal C_L C L ℓ ( L ) \ell(L) ℓ ( L ) A A A 5.2.1 の条件が成り立ち、ℓ ( L ) → ∞ \ell(L)\to\infty ℓ ( L ) → ∞ L → ∞ L\to\infty L → ∞ 位相秩序 を持つという。言い換えると、基底状態の空間は距離が L L L D D D ℓ ( L ) \ell(L) ℓ ( L ) 0 0 0
これは Bravyi–Hastings–Michalakis が摂動に対する安定性を証明するときに課した条件1 1 S. Bravyi, M. B. Hastings and S. Michalakis (2010), J. Math. Phys. 51 , 093512。この論文では、領域の大きさが L L L ℓ ( L ) = L \ell(L)=L ℓ ( L ) = L
例題 5.2.2 領域を広げると D D D
オリジナル L = 3 L=3 L = 3 ρ ^ = ∣ ψ + + ⟩ ⟨ ψ + + ∣ \hat\rho=| \psi_{++} \rangle \langle \psi_{++} | ρ ^ = ∣ ψ ++ ⟩ ⟨ ψ ++ ∣ ρ ^ ′ = ∣ ψ − + ⟩ ⟨ ψ − + ∣ \hat\rho'=| \psi_{-+} \rangle \langle \psi_{-+} | ρ ^ ′ = ∣ ψ −+ ⟩ ⟨ ψ −+ ∣ ∣ ψ − + ⟩ = X ˉ 1 ∣ ψ + + ⟩ | \psi_{-+} \rangle =\bar X_1| \psi_{++} \rangle ∣ ψ −+ ⟩ = X ˉ 1 ∣ ψ ++ ⟩ σ ^ = 1 2 ( ρ ^ + ρ ^ ′ ) \hat\sigma=\frac12(\hat\rho+\hat\rho') σ ^ = 2 1 ( ρ ^ + ρ ^ ′ ) y = 0 y=0 y = 0 a 1 = h ( 0 , 0 ) a_1=h(0,0) a 1 = h ( 0 , 0 ) a 2 = h ( 1 , 0 ) a_2=h(1,0) a 2 = h ( 1 , 0 ) a 3 = h ( 2 , 0 ) a_3=h(2,0) a 3 = h ( 2 , 0 ) A 1 = { a 1 } ⊂ A 2 = { a 1 , a 2 } ⊂ A 3 = { a 1 , a 2 , a 3 } A_1=\{a_1\}\subset A_2=\{a_1,a_2\}\subset A_3=\{a_1,a_2,a_3\} A 1 = { a 1 } ⊂ A 2 = { a 1 , a 2 } ⊂ A 3 = { a 1 , a 2 , a 3 }
(1) 全体の D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma) D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) (2) D ( ρ ^ A 1 ∥ σ ^ A 1 ) D(\hat\rho_{A_1}\,\|\,\hat\sigma_{A_1}) D ( ρ ^ A 1 ∥ σ ^ A 1 ) D ( ρ ^ A 2 ∥ σ ^ A 2 ) D(\hat\rho_{A_2}\,\|\,\hat\sigma_{A_2}) D ( ρ ^ A 2 ∥ σ ^ A 2 ) (3) D ( ρ ^ A 3 ∥ σ ^ A 3 ) D(\hat\rho_{A_3}\,\|\,\hat\sigma_{A_3}) D ( ρ ^ A 3 ∥ σ ^ A 3 ) (5.2.7) と矛盾しないことを確かめよ。
解答 (1) ρ ^ \hat\rho ρ ^ ρ ^ ′ \hat\rho' ρ ^ ′ σ ^ \hat\sigma σ ^ 1 2 \frac12 2 1 ∣ ψ + + ⟩ | \psi_{++} \rangle ∣ ψ ++ ⟩ 1 2 \frac12 2 1 ∣ ψ − + ⟩ | \psi_{-+} \rangle ∣ ψ −+ ⟩ D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) = Tr ρ ^ ( ln ρ ^ − ln σ ^ ) = 0 − ln 1 2 = ln 2 D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)=\operatorname{Tr}\hat\rho(\ln\hat\rho-\ln\hat\sigma)=0-\ln\frac12=\ln2 D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) = Tr ρ ^ ( ln ρ ^ − ln σ ^ ) = 0 − ln 2 1 = ln 2
(2) A 1 A_1 A 1 A 2 A_2 A 2 5.2.1 により ρ ^ A i = ρ ^ A i ′ \hat\rho_{A_i}=\hat\rho'_{A_i} ρ ^ A i = ρ ^ A i ′ σ ^ A i = ρ ^ A i \hat\sigma_{A_i}=\hat\rho_{A_i} σ ^ A i = ρ ^ A i D = 0 D=0 D = 0
(3) A 3 A_3 A 3 Z ˉ 1 = Z a 1 Z a 2 Z a 3 \bar Z_1=Z_{a_1}Z_{a_2}Z_{a_3} Z ˉ 1 = Z a 1 Z a 2 Z a 3 ρ ^ A 3 \hat\rho_{A_3} ρ ^ A 3 Z ˉ 1 = + 1 \bar Z_1=+1 Z ˉ 1 = + 1 Π + \Pi_+ Π + ρ ^ A 3 ′ \hat\rho'_{A_3} ρ ^ A 3 ′ Z ˉ 1 = − 1 \bar Z_1=-1 Z ˉ 1 = − 1 Π − \Pi_- Π − σ ^ A 3 = 1 2 ( ρ ^ A 3 + ρ ^ A 3 ′ ) \hat\sigma_{A_3}=\frac12(\hat\rho_{A_3}+\hat\rho'_{A_3}) σ ^ A 3 = 2 1 ( ρ ^ A 3 + ρ ^ A 3 ′ ) ln σ ^ A 3 \ln\hat\sigma_{A_3} ln σ ^ A 3 ln 1 2 + ln ρ ^ A 3 \ln\frac12+\ln\hat\rho_{A_3} ln 2 1 + ln ρ ^ A 3 D ( ρ ^ A 3 ∥ σ ^ A 3 ) = Tr ρ ^ A 3 ( ln ρ ^ A 3 − ln 1 2 − ln ρ ^ A 3 ) = ln 2 D(\hat\rho_{A_3}\,\|\,\hat\sigma_{A_3})=\operatorname{Tr}\hat\rho_{A_3}\bigl(\ln\hat\rho_{A_3}-\ln\tfrac12-\ln\hat\rho_{A_3}\bigr)=\ln2 D ( ρ ^ A 3 ∥ σ ^ A 3 ) = Tr ρ ^ A 3 ( ln ρ ^ A 3 − ln 2 1 − ln ρ ^ A 3 ) = ln 2 0 , 0 , ln 2 0,0,\ln2 0 , 0 , ln 2 ln 2 \ln2 ln 2 (5.2.7) と矛盾しない。2辺から3辺に広げた所で、0 0 0 ln 2 \ln2 ln 2 σ ^ \hat\sigma σ ^ ρ ^ ′ \hat\rho' ρ ^ ′ 0 , 0 , + ∞ 0,0,+\infty 0 , 0 , + ∞ scripts/verify_ch5-02.py）。
1 S. Bravyi, M. B. Hastings and S. Michalakis (2010), J. Math. Phys. 51 , 093512。この論文では、領域の大きさが L L L
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
