出てくるもの (3)：量子の断熱変化と状態の数

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第3部 第5章 §3.5.5　★★ 量子力学の断熱定理は量子数を保つので、エネルギー以下の固有状態の数と各準位の占有確率が保たれ、エントロピーが変わらない。断熱消磁はその応用

Ehrenfest の断熱仮説

量子力学では、$\Phi$ にあたるのはエネルギー $E$ 以下の固有状態の数である。自由度1の Bohr–Sommerfeld の量子化条件 $J=(n+\frac12)\hbar$（第1部第14章）を式 (3.5.6) に入れると $\Phi=n+\frac12$ で、$n$ 番目の準位のエネルギーまでに $n+1$ 個の状態があることとほぼ一致する。P. Ehrenfest は、パラメータをゆっくり変えると量子数 $n$ が保たれる、すなわち古典の断熱不変量が量子化される量になる、という原理を前期量子論の柱に据えた¹1P. Ehrenfest（1916）、Annalen der Physik 51、327頁。下の脚注へ閉じる。量子力学ではこれが断熱定理の形で示される。固有値 $E_n(\lambda)$ がほかの固有値から離れていて、$\lambda$ の変化がゆっくりなら、初めに $n$ 番目の固有状態にあった系は、$\lambda$ が変わった後も $n$ 番目の固有状態にとどまる（近似の数理 第7章・第4部第9章）。

占有確率が保たれる

系が混合状態 $\hat\rho=\sum_np_n| n(\lambda) \rangle \langle n(\lambda) |$ にあるとき、断熱定理により各固有状態は自分の番号を保って動くので、占有確率 $p_n$ は変わらない。したがって $\hat\rho$ の固有値の組が変わらず、エントロピー

$$S=- k_{\mathrm B}\sum_np_n\ln p_n\tag{3.5.20}$$

は一定である。ここで保たれているのは、固有状態の番号と、それぞれの番号に乗っている確率である。古典の Hertz の定理が「エネルギー以下の体積」を保つのと同じく、量子の断熱変化は「何番目の状態か」を保つ。

準位がすべて同じ倍率で動く場合、すなわち $E_n(\lambda)=s(\lambda)\varepsilon _n$ の形のときは、初めにカノニカル分布 $p_n\propto\mathrm{e}^{-E_n/( k_{\mathrm B} T)}$ にあった系は、$\lambda$ が変わった後もカノニカル分布で、温度だけが

$$T\propto s(\lambda)\tag{3.5.21}$$

と変わる。$p_n\propto\mathrm{e}^{-s\varepsilon _n/( k_{\mathrm B} T)}$ が変わらないためには $s/T$ が一定であればよいからである。1辺 $a$ の箱の中の粒子では $E_n\propto a^{-2}$ なので $T\propto a^{-2}=V^{-2/3}$ となり、古典の式 (3.5.15) の $TV^{2/3}=$ 一定と一致する。

断熱消磁

磁場 $B$ の中のスピン $\frac12$ の常磁性体を、互いに相互作用しない $N$ 個の磁気モーメント（大きさ $\mu_{\mathrm B}$）の集まりとして扱う。各スピンのエネルギーは $\mp\mu_{\mathrm B}B$ で、準位は $B$ に比例して動く（$s(\lambda)=B$）。温度 $T$ のカノニカル分布では、$x=\mu_{\mathrm B}B/( k_{\mathrm B} T)$ と置いて

$$\frac{S}{N k_{\mathrm B}}=\ln(2\cosh x)-x\tanh x\tag{3.5.22}$$

で、エントロピーは $B/T$ だけの関数である。ゆっくり磁場を下げるとエントロピーが一定なので、式 (3.5.21) のとおり $B/T$ が一定に保たれ、温度が磁場に比例して下がる。これが断熱消磁で、低温を作る方法として使われる。図 3.5.3 に2つの磁場でのエントロピーを示す。数値の例は第3部第4章の3.4.7節の総合問題 (5)（$1\,\mathrm K$・$1\,\mathrm T$ から磁場を下げる）にある。

図 3.5.3　スピン $\frac12$ の常磁性体のエントロピー（式 (3.5.22)、黒の点線は $B=1\,\mathrm T$、青の点線は $B=0.1\,\mathrm T$）。赤の矢印は $1\,\mathrm K$ で $B=1\,\mathrm T$ から $0.1\,\mathrm T$ へゆっくり下げる変化で、エントロピーが一定のまま温度が $0.1\,\mathrm K$ へ下がる。