授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第9章 §1.9.6　★★ 微小回転 $\delta\bm{r}=\delta\bm{\phi}\times\bm{r}$・トルクと角運動量・$\hat p=-\mathrm{i}\hbar\nabla$ は、生成子の式の別の書き方である

微小回転のベクトルの式

学部の力学の授業では、軸 $\bm{n}$（単位ベクトル）のまわりの角 $\delta\phi$ の微小回転を

$$\delta\bm{r}=\delta\phi\,\bm{n}\times\bm{r}\tag{1.9.25}$$

と書く。この章の言葉では、これは生成子 $G=\bm{n}\cdot\bm{L}$（$\bm{L}=\bm{r}\times\bm{p}$）、$\epsilon=\delta\phi$ の無限小変換である。実際、スカラー三重積の巡回で $\bm{n}\cdot(\bm{r}\times\bm{p})=\bm{p}\cdot(\bm{n}\times\bm{r})=\bm{r}\cdot(\bm{p}\times\bm{n})$ と書き直せるので

$$\delta\bm{r}=\epsilon\frac{\partial (\bm{n}\cdot\bm{L})}{\partial \bm{p}}=\epsilon\,\bm{n}\times\bm{r},\qquad \delta\bm{p}=-\epsilon\frac{\partial (\bm{n}\cdot\bm{L})}{\partial \bm{r}}=-\epsilon\,\bm{p}\times\bm{n}=\epsilon\,\bm{n}\times\bm{p}\tag{1.9.26}$$

となる（$\partial/\partial\bm{p}$ は成分ごとの偏微分を並べたベクトル）。$\bm{n}=\bm{e}_z$ とすると $\bm{e}_z\times\bm{r}=(-y,x,0)$ で、式 (1.9.18) に戻る。授業の式 (1.9.25) は位置の変化だけを書いているが、生成子の式からは、運動量も同じ形 $\delta\bm{p}=\epsilon\,\bm{n}\times\bm{p}$ で回ることが同時に出る。

保存則の導き方

授業では、角運動量の保存を運動方程式 $\mathrm{d}\bm{L}/\mathrm{d} t=\bm{r}\times\bm{F}$（トルク）から出し、中心力ならトルクが $0$ なので $\bm{L}$ が保存する、と説明する。運動量の保存は、2粒子の間の力が作用・反作用の法則で打ち消し合うことから出す。この章では、どちらも式 (1.9.20) の1行で出る。中心力 $V(\lvert \bm{r}\rvert )$ は回転で変わらないので $\delta_{L_z}H=0$ で $L_z$ が保存し、2粒子の相互作用 $V(\lvert \bm{r}_1-\bm{r}_2\rvert )$ は2粒子を一緒に並進させても変わらないので全運動量 $\bm{p}_1+\bm{p}_2$ が保存する。変わらない並進の向きが違えば保存する組み合わせも変わる（例題 1.9.6）。授業の導き方は「力がこうだから保存する」、この章の導き方は「$H$ がこの変換で変わらないから保存する」で、後者は力という言葉を使わないので、場や量子力学にもそのまま使うことができる。

量子力学の運動量演算子

量子力学の授業では、運動量の演算子を $\hat p=-\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d}/\mathrm{d} x$ と定義し、それが $\left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ を満たすことを確かめる、という順に進むことが多い。この章の順序では逆で、「運動量は並進の生成子」を出発点にし、並進の演算子 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} a\hat p/\hbar}$ が $\psi(x)\mapsto\psi(x-a)$ になることを要求すると、式 (1.9.24) から $-\mathrm{i}\hat p/\hbar=-\mathrm{d}/\mathrm{d} x$、すなわち $\hat p=-\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d}/\mathrm{d} x$ が決まる。角運動量 $\hat L_z=-\mathrm{i}\hbar\,\partial_\varphi$ も同じく「回転の生成子」として決まる。