観測量：自己共役演算子とスペクトル分解

固有値が実数であることは、$\hat A| a \rangle =a| a \rangle$ から $a\langle a | a \rangle =\langle a | \hat A | a \rangle =\langle a | \hat A^\dagger | a \rangle ^*=a^*\langle a | a \rangle$ で従う。異なる固有値 $a\neq b$ の固有ベクトルは $b\langle a | b \rangle =\langle a | \hat A | b \rangle =a\langle a | b \rangle$ から $\langle a | b \rangle =0$ で直交する。固有空間の直和が全体になることは次で示す。固有空間全体の直和を $V$ とし、その直交補空間 $V^\perp$ を考える。$| x \rangle \in V^\perp$、$| v \rangle \in V$ なら$\langle v | \hat Ax \rangle =\langle \hat Av | x \rangle =0$（$\hat A| v \rangle \in V$ なので）だから $\hat A$ は $V^\perp$ を $V^\perp$ へ写す。$V^\perp\neq\{0\}$ なら、そこに制限した $\hat A$ は複素数体の上の有限次元の線形写像なので固有ベクトルを少なくとも1つ持つ（特性多項式が根を持つ）。それは $V$ に入るはずなので矛盾し、$V^\perp=\{0\}$。あとは $| \psi \rangle =\sum_k\hat P_{a_k}| \psi \rangle$ に $\hat A$ を掛ければ (1.2.2) の第1式になる。射影の組は固有空間で決まるので一意である。

(a) 両辺のトレースを取る。$\operatorname{Tr}(\hat x\hat p)=\operatorname{Tr}(\hat p\hat x)$ なので左辺は $0$、右辺は $\mathrm{i}\hbar N\neq0$ で矛盾する。

(b) $\hat A$、$\hat B$ を有界な演算子とし、$\left[\hat A,\,\hat B\right]=c\hat1$（$c\neq0$）と仮定する。$n\ge1$ について$\left[\hat A,\,\hat B^n\right]=\sum_{k=0}^{n-1}\hat B^k\left[\hat A,\,\hat B\right]\hat B^{n-1-k}=nc\hat B^{n-1}$ が成り立つ（交換子の積の公式を $n$ 回使う）。もしある $n$ で $\hat B^n=0$ なら、この式から $\hat B^{n-1}=0$、繰り返して $\hat B^0=\hat1=0$ となり矛盾する。よってすべての $n$ で $\hat B^{n-1}\neq0$ である。作用素ノルムを取ると $n\lvert c\rvert \,\lVert \hat B^{n-1}\rVert =\lVert \hat A\hat B^n-\hat B^n\hat A\rVert \le2\lVert \hat A\rVert \lVert \hat B\rVert \lVert \hat B^{n-1}\rVert$。両辺を $\lVert \hat B^{n-1}\rVert >0$ で割ると $n\lvert c\rvert \le2\lVert \hat A\rVert \lVert \hat B\rVert$ がすべての $n$ で成り立つことになり、$n\to\infty$ で矛盾する。