この章のまとめ

(1) 3次元の点を $s$ と $\varphi$ で微分すると $\partial_s=(\sin\alpha\cos\varphi,\sin\alpha\sin\varphi,\cos\alpha)$、$\partial_\varphi=(-s\sin\alpha\sin\varphi,s\sin\alpha\cos\varphi,0)$ で、長さの2乗は $1$ と $s^2\sin^2\alpha$、内積は0なので

$$\mathrm{d} s^2_{\text{(円錐)}}=\mathrm{d} s^2+s^2\sin^2\alpha\,\mathrm{d}\varphi^2$$

である（左辺は線素、右辺の $\mathrm{d} s$ は座標 $s$ の微分）。$\psi=\varphi\sin\alpha$ とすると $\mathrm{d}\psi=\sin\alpha\,\mathrm{d}\varphi$ で、$\mathrm{d} s^2+s^2\mathrm{d}\psi^2$ は平面の極座標の計量そのものである。$\varphi$ が $0$ から $2\pi$ まで動くとき $\psi$ は $0$ から $2\pi\sin\alpha$ まで動くので、円錐は計量を変えずに中心角 $2\pi\sin\alpha$ の扇形に写り、扇形の2本の辺を貼り合わせたものが円錐である。$\alpha=30^\circ$ では $2\pi\cdot\frac12=\pi$、つまり半円である。

(2) $g_{ss}=1$, $g_{\varphi\varphi}=s^2\sin^2\alpha$ で、0でない微分は $\partial_sg_{\varphi\varphi}=2s\sin^2\alpha$ だけである。例題 2.13.5 と同じ計算で

$$\Gamma^s{}_{\varphi\varphi}=-\frac12\partial_sg_{\varphi\varphi}=-s\sin^2\alpha,\qquad \Gamma^\varphi{}_{s\varphi}=\Gamma^\varphi{}_{\varphi s}=\frac{\partial_sg_{\varphi\varphi}}{2g_{\varphi\varphi}}=\frac1s$$

で、ほかは0である。変換則では、$X=s\cos(\varphi\sin\alpha)$, $Y=s\sin(\varphi\sin\alpha)$ として $\Gamma'^\rho{}_{\mu\nu}=\frac{\partial x'^\rho}{\partial X^a}\dfrac{\partial^2X^a}{\partial x'^\mu\partial x'^\nu}$ を計算する。$\partial_\varphi^2(X,Y)=-s\sin^2\alpha(\cos\psi,\sin\psi)$ で、$\frac{\partial s}{\partial (X,Y)}=(\cos\psi,\sin\psi)$ なので $\Gamma^s{}_{\varphi\varphi}=-s\sin^2\alpha$。$\partial_s\partial_\varphi(X,Y)=\sin\alpha(-\sin\psi,\cos\psi)$ で、$\frac{\partial \varphi}{\partial (X,Y)}=\frac{1}{s\sin\alpha}(-\sin\psi,\cos\psi)$ なので $\Gamma^\varphi{}_{s\varphi}=1/s$。どちらも一致する。

(3) $\varphi=t$ で1周すると、平行移動の式は $\dot V^s=s_0\sin^2\alpha\,V^\varphi$, $\dot V^\varphi=-V^s/s_0$ である。長さ1の基底に対する成分 $A=V^s$, $B=s_0\sin\alpha\,V^\varphi$ では $\dot A=\sin\alpha\,B$, $\dot B=-\sin\alpha\,A$ で、角速度 $\sin\alpha$ で回る。1周の回転角は

$$-2\pi\sin\alpha\equiv2\pi(1-\sin\alpha)\pmod{2\pi}$$

で、$s_0$ によらない。$\alpha=30^\circ$ では $\pi$ で、ベクトルは反転して戻る。展開図で見ると、平行移動は直交座標の成分を一定に保つ操作なので、ベクトルは扇形の中で向きを変えない。ところが扇形の一方の辺から出て他方の辺に着くと、2本の辺の向きが $2\pi\sin\alpha$ 違うので、貼り合わせた後の向きがその分だけずれる。円錐の側面のどこでも曲がっていないのに回転が残るのは、曲がりがすべて頂点に集まっているからで、$s_0$ によらないのはどの円も同じ頂点を1回囲むからである。

(4) 展開図の直線 $X=s_0$, $Y=\lambda$ を $(s,\psi)$ に戻すと $s=\sqrt{s_0^2+\lambda^2}$, $\psi=\arctan(\lambda/s_0)$、したがって $\varphi=\arctan(\lambda/s_0)/\sin\alpha$ である。$\dot s=\lambda/s$, $\ddot s=s_0^2/s^3$, $\dot\varphi=s_0/(s^2\sin\alpha)$, $\ddot\varphi=-2s_0\lambda/(s^4\sin\alpha)$ から

$$\ddot s+\Gamma^s{}_{\varphi\varphi}\dot\varphi^2=\frac{s_0^2}{s^3}-s\sin^2\alpha\frac{s_0^2}{s^4\sin^2\alpha}=0,\qquad \ddot\varphi+2\Gamma^\varphi{}_{s\varphi}\dot s\dot\varphi=-\frac{2s_0\lambda}{s^4\sin\alpha}+\frac2s\cdot\frac\lambda s\cdot\frac{s_0}{s^2\sin\alpha}=0$$

で、測地線方程式を満たす。計量は $\varphi$ によらないので $\partial_\varphi$ は Killing ベクトルで、保存量は $g_{\varphi\varphi}\dot\varphi=s^2\sin^2\alpha\cdot\dfrac{s_0}{s^2\sin\alpha}=s_0\sin\alpha$（一定）である。軌道の形は $s\cos(\varphi\sin\alpha)=s_0$ と書くことができる。$\lambda\to\pm\infty$ で $\varphi\to\pm\pi/(2\sin\alpha)$ なので、測地線は全体で $\varphi$ を $\pi/\sin\alpha$ だけ進む。平面（$\alpha=90^\circ$）なら $\pi$ で、直線が原点の片側を通り過ぎるだけだが、$\alpha=30^\circ$ では $2\pi$ で、測地線は円錐をちょうど1周巻いてから遠ざかる。

(5) 球面の緯線 $\theta=\theta_0$ で球に接する円錐の母線は、その点の経線の接線で、球の軸と角 $\pi/2-\theta_0$ をなす（$\theta_0<\pi/2$ の北半球で考える）。したがって半頂角は $\alpha=\pi/2-\theta_0$ で、$\sin\alpha=\cos\theta_0$ である。円錐の頂点は軸上にあり、接点までの母線の長さは $s_0=a\tan\theta_0$ で、接する円の半径は $s_0\sin\alpha=a\tan\theta_0\cos\theta_0=a\sin\theta_0$ となって緯線の半径と一致する。(3) の回転角は $-2\pi\sin\alpha=-2\pi\cos\theta_0$ で、球面の緯線の式 (2.13.24) と同じである。緯線の上では、球面の計量と接する円錐の計量は値も1階微分も一致する（$g_{\varphi\varphi}$ はどちらも $a^2\sin^2\theta_0$、母線の向きの微分はどちらも $2a\sin\theta_0\cos\theta_0$）。平行移動の式 (2.13.21) は曲線上の $\Gamma$、つまり計量の1階微分までしか使わないので、緯線に沿った平行移動は円錐の上で行っても同じ結果になる。円錐を展開図にすれば、球面の緯線の回転角を、扇形の中心角という目に見える量で読み取ることができる。