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授業で習った形との対応

2026年10月15日8分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第2部 第13章 多様体とテンソル
目次
  1. 極座標の加速度
  2. 曲線座標の微分演算子
  3. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第13章 §2.13.6　★★ 極座標の加速度・曲線座標の勾配と発散とラプラシアン・特殊相対論の添字の上げ下げは、どれもこの章の共変微分と計量の特別な場合

極座標の加速度

力学の授業では、平面の極座標で加速度を

ar=r¨−rθ˙2,aθ=rθ¨+2r˙θ˙a_r=\ddot r-r\dot\theta^2,\qquad a_\theta=r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta

と書く。これを導くときは、基底ベクトル er\bm{e}_r, eθ\bm{e}_\theta が場所によって向きを変えることを使い、e˙r=θ˙ eθ\dot{\bm{e}}_r=\dot\theta\,\bm{e}_\theta, e˙θ=−θ˙ er\dot{\bm{e}}_\theta=-\dot\theta\,\bm{e}_r を微分に入れる。この章の言葉では、速度 uμ=(r˙,θ˙)u^\mu=(\dot r,\dot\theta) の曲線に沿った共変微分 (2.13.21) が加速度である。式 (2.13.16) の Γ\Gamma を入れると

Durdt=r¨+Γrθθθ˙2=r¨−rθ˙2,Duθdt=θ¨+2Γθrθr˙θ˙=θ¨+2rr˙θ˙(2.13.26)\frac{Du^r}{\mathrm{d} t}=\ddot r+\Gamma^r{}_{\theta\theta}\dot\theta^2=\ddot r-r\dot\theta^2,\qquad \frac{Du^\theta}{\mathrm{d} t}=\ddot\theta+2\Gamma^\theta{}_{r\theta}\dot r\dot\theta=\ddot\theta+\frac2r\dot r\dot\theta\tag{2.13.26}

となる。ara_r はそのまま一致し、aθa_\theta は Duθ/dtDu^\theta/\mathrm{d} t に gθθ=r\sqrt{g_{\theta\theta}}=r を掛けたものである。授業の aθa_\theta は長さ1の基底 eθ=∂θ/r\bm{e}_\theta=\partial_\theta/r に対する成分（物理成分）で、座標の基底 ∂θ\partial_\theta に対する成分とは rr 倍違う。授業で「基底の微分」として扱った e˙r=θ˙eθ\dot{\bm{e}}_r=\dot\theta\bm{e}_\theta が、ここでは Christoffel 記号の項になっている。

曲線座標の微分演算子

電磁気学の授業では、円柱座標や球座標の勾配・発散・ラプラシアンを公式として覚える。この章の言葉では、次の表のように、どれも計量と式 (2.13.18) から1行で書くことができる。表の右の列は直交する座標（gμνg_{\mu\nu} が対角）の物理成分に直したものである。

量この章の形授業の形（球座標の例）
体積要素∣g∣ dnx\sqrt{\lvert g\rvert }\,\mathrm{d}^nxr2sin⁡θ dr dθ dφr^2\sin\theta\,\mathrm{d} r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi
勾配∂μf\partial_\mu f（上付きにするなら gμν∂νfg^{\mu\nu}\partial_\nu f）∂rf er+1r∂θf eθ+1rsin⁡θ∂φf eφ\partial_rf\,\bm{e}_r+\frac1r\partial_\theta f\,\bm{e}_\theta+\frac{1}{r\sin\theta}\partial_\varphi f\,\bm{e}_\varphi
発散1∣g∣∂μ(∣g∣ Aμ)\frac{1}{\sqrt{\lvert g\rvert }}\partial_\mu(\sqrt{\lvert g\rvert }\,A^\mu)1r2∂r(r2Ar)+1rsin⁡θ∂θ(sin⁡θAθ)+1rsin⁡θ∂φAφ\frac{1}{r^2}\partial_r(r^2A_r)+\frac{1}{r\sin\theta}\partial_\theta(\sin\theta A_\theta)+\frac{1}{r\sin\theta}\partial_\varphi A_\varphi
ラプラシアン1∣g∣∂μ(∣g∣ gμν∂νf)\frac{1}{\sqrt{\lvert g\rvert }}\partial_\mu(\sqrt{\lvert g\rvert }\,g^{\mu\nu}\partial_\nu f)1r2∂r(r2∂rf)+1r2sin⁡θ∂θ(sin⁡θ ∂θf)+1r2sin⁡2θ∂φ2f\frac{1}{r^2}\partial_r(r^2\partial_rf)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\partial_\theta(\sin\theta\,\partial_\theta f)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\partial_\varphi^2f
添字の上げ下げAμ=gμνAνA_\mu=g_{\mu\nu}A^\nu特殊相対論の Aμ=(ϕ/c,−A)A_\mu=(\phi/c,-\bm{A})

発散の行で、授業の AθA_\theta は物理成分で、座標の成分とは Aθ=Aθ(物理)/rA^\theta=A_\theta^{\text{(物理)}}/r の関係にある。これを 1r2sin⁡θ∂θ(r2sin⁡θ Aθ)\frac{1}{r^2\sin\theta}\partial_\theta(r^2\sin\theta\,A^\theta) に入れると授業の第2項になる。ラプラシアンの行は、発散の式の AμA^\mu に勾配 gμν∂νfg^{\mu\nu}\partial_\nu f を入れたものである。授業ではこれらを座標系ごとに別の公式として覚えるが、この章の形では、計量の成分を入れ替えるだけでどの座標の公式も出る。

最後の行の特殊相対論は、計量が定数の η\eta で Γ=0\Gamma=0 の場合である。この場合は偏微分だけで共変微分になるので、授業では接続を意識する必要が無かった。一般相対論で ∂μ\partial_\mu を ∇μ\nabla_\mu に替える必要が出るのは、慣性系の座標が大域的には存在せず、計量が場所によって変わるためである。

例題 2.13.7　球座標のラプラシアンを計量から1行で出す ★★

オリジナル3次元の空間を球座標 (r,θ,φ)(r,\theta,\varphi) で書く。

  1. (1) 計量 gμνg_{\mu\nu}、g\sqrt g、gμνg^{\mu\nu} を書け。
  2. (2) ∇2f=1g∂μ(g gμν∂νf)\nabla^2f=\frac{1}{\sqrt g}\partial_\mu(\sqrt g\,g^{\mu\nu}\partial_\nu f) を展開し、表の右の列の式になることを示せ。
  3. (3) f=xzf=xz, f=r2f=r^2, f=z3f=z^3 のそれぞれについて、(2) の式で計算したラプラシアンが直交座標の ∂x2+∂y2+∂z2\partial_x^2+\partial_y^2+\partial_z^2 と一致することを確かめよ。
解答

(1) ds2=dr2+r2dθ2+r2sin⁡2θ dφ2\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2+r^2\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2 なので g=diag(1,r2,r2sin⁡2θ)g=\mathrm{diag}(1,r^2,r^2\sin^2\theta)、g=r2sin⁡θ\sqrt g=r^2\sin\theta（0<θ<π0<\theta<\pi）、gμν=diag(1,r−2,r−2sin⁡−2θ)g^{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,r^{-2},r^{-2}\sin^{-2}\theta) である。

(2) 対角なので和は3項で、

∇2f=1r2sin⁡θ[∂r(r2sin⁡θ ∂rf)+∂θ(r2sin⁡θ 1r2∂θf)+∂φ(r2sin⁡θ 1r2sin⁡2θ∂φf)]\nabla^2f=\frac{1}{r^2\sin\theta}\Bigl[\partial_r\bigl(r^2\sin\theta\,\partial_rf\bigr)+\partial_\theta\Bigl(r^2\sin\theta\,\frac{1}{r^2}\partial_\theta f\Bigr)+\partial_\varphi\Bigl(r^2\sin\theta\,\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\partial_\varphi f\Bigr)\Bigr]

で、sin⁡θ\sin\theta と r2r^2 を約分すると表の式になる。

(3) f=xz=r2sin⁡θcos⁡θcos⁡φf=xz=r^2\sin\theta\cos\theta\cos\varphi：1r2∂r(r2⋅2r)=6\frac1{r^2}\partial_r(r^2\cdot2r)=6 に sin⁡θcos⁡θcos⁡φ\sin\theta\cos\theta\cos\varphi を掛けたもの、θ\theta の項 1sin⁡θ∂θ(sin⁡θcos⁡2θ)cos⁡φ=(cot⁡θcos⁡2θ−2sin⁡2θ)cos⁡φ\frac{1}{\sin\theta}\partial_\theta(\sin\theta\cos2\theta)\cos\varphi=(\cot\theta\cos2\theta-2\sin2\theta)\cos\varphi、φ\varphi の項 −cos⁡θsin⁡θcos⁡φ-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\cos\varphi を足すと(3sin⁡2θ+cot⁡θcos⁡2θ−2sin⁡2θ−cot⁡θ)cos⁡φ=(sin⁡2θ−2cot⁡θsin⁡2θ)cos⁡φ=0\bigl(3\sin2\theta+\cot\theta\cos2\theta-2\sin2\theta-\cot\theta\bigr)\cos\varphi=(\sin2\theta-2\cot\theta\sin^2\theta)\cos\varphi=0 で、直交座標の ∇2(xz)=0\nabla^2(xz)=0 と一致する。f=r2f=r^2 は 1r2∂r(2r3)=6\frac1{r^2}\partial_r(2r^3)=6 で、直交座標の 2+2+2=62+2+2=6 と一致する。f=z3=r3cos⁡3θf=z^3=r^3\cos^3\theta は、rr の項 12rcos⁡3θ12r\cos^3\theta、θ\theta の項 rsin⁡θ∂θ(−3sin⁡2θcos⁡2θ)=r(−6cos⁡3θ+6sin⁡2θcos⁡θ)\frac{r}{\sin\theta}\partial_\theta(-3\sin^2\theta\cos^2\theta)=r(-6\cos^3\theta+6\sin^2\theta\cos\theta) の和で 6rcos⁡3θ+6rsin⁡2θcos⁡θ=6rcos⁡θ=6z6r\cos^3\theta+6r\sin^2\theta\cos\theta=6r\cos\theta=6z となり、直交座標の 6z6z と一致する。

木下の勉強ステータス

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AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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