授業で習った形との対応

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第4部 第7章 §4.7.6　★★ Kelvin の原理・1分子の気体の等温膨張・コンデンサのエネルギー・Arrhenius の式を、この章の式と並べる

Kelvin の原理と Szilard エンジン

熱力学の授業では、第二法則を「1つの熱浴から熱をもらい、それを全部仕事に変えて、ほかに何の変化も残さない周期的な過程は無い」（Kelvin の原理）と述べる。式で書けば、周期的な過程で $\langle W \rangle \ge0$、すなわち $\langle W \rangle -\Delta F\ge0$（$\Delta F=0$）である。単電子箱のエンジンは、1つの熱浴から $k_{\mathrm B} T\ln2$ に近い熱をもらって仕事にしているので、一見この原理に反する。式 (4.7.14) は、測定の結果を記憶した装置の側に「ほかの変化」が残っていて、その大きさが $I(X;M)$ であることを示す。記憶を消して装置を元に戻すと、4.7.1 節の下限の熱が出て、帳尻が合う（第4部第5章）。総合問題でこの帳尻を数値で確かめる。

1分子の気体の等温膨張

Szilard の思考実験は、箱の中の1個の分子を使う。仕切りで箱を半分に分け、分子がどちらにいるかを測ってから、その側の仕切りをピストンとして体積 $V/2$ から $V$ まで等温で膨張させる。理想気体の状態方程式 $PV=N k_{\mathrm B} T$ で $N=1$ とすれば、取り出す仕事は

$$\int_{V/2}^{V}P\,\mathrm{d} V= k_{\mathrm B} T\int_{V/2}^{V}\frac{\mathrm{d} V}{V}= k_{\mathrm B} T\ln2\tag{4.7.17}$$

で、これが「1ビットで $k_{\mathrm B} T\ln2$」の授業の形である。単電子箱では、体積を広げる代わりに $n_{\mathrm g}$ を縮退点へ戻して2つの状態のエネルギーをそろえ、電子が使える状態の数を1から2に増やす。どちらも、分布のエントロピーを $0$ から $\ln2$ に増やす等温の過程で、熱浴から $k_{\mathrm B} T\Delta H= k_{\mathrm B} T\ln2$ の熱をもらう。

コンデンサのエネルギーと Arrhenius の式

式 (4.7.11) は電磁気学のコンデンサのエネルギー $Q^2/(2C)$ である。島の電荷を $e(n-n_{\mathrm g})$ と書けば $\frac{e^2(n-n_{\mathrm g})^2}{2C_\Sigma}=E_{\mathrm C}(n-n_{\mathrm g})^2$ で、ゲートの電荷 $en_{\mathrm g}$ を変えると、エネルギーが最小になる $n$ の位置がずれる。島が小さく $C_\Sigma$ が $10^{-15}\,\mathrm F$ ほどしかないので、電子1個で $E_{\mathrm C}=111\,\mu\mathrm{eV}$（温度にすると $1.3\,\mathrm K$）になり、これより十分低い $0.1\,\mathrm K$ では $n$ は2つの値に限られる。

記憶がどれだけ保たれるかは、化学反応の速さの Arrhenius の式 $k=k_0\,\mathrm{e}^{-E_{\mathrm a}/ k_{\mathrm B} T}$ と同じ形で、障壁 $E_{\mathrm b}$ が活性化エネルギー $E_{\mathrm a}$ にあたる。4.7.1 節の粗視化は、反応の速さより速く反応物の中で平衡が成り立つという、化学反応速度論の前提と同じものである。