出てくるもの (2)：単電子箱の Szilard エンジン

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第4部 第7章 §4.7.4　★★★ 1個の電子の位置で1ビットを作り、測定とフィードバックで熱浴から $k_{\mathrm B} T\ln2$ に近い熱を仕事に変えた。誤り率 $\varepsilon$ の測定では相互情報量 $\ln2-h_{\mathrm b}(\varepsilon)$ が取り出せる上限で、最適なフィードバックで等号になる

単電子箱

単電子箱は、トンネル接合でつながった2つの小さな金属の島である。島は外の回路と容量でしかつながっていないので、電子は2つの島のあいだを行き来するだけで、全体の電荷は変わらない。一方の島に余分な電子が $n$ 個あるとき（もう一方には $-n$ 個）、静電エネルギーは

$$E_n=E_{\mathrm C}\,(n-n_{\mathrm g})^2,\qquad E_{\mathrm C}=\frac{e^2}{2C_\Sigma}\tag{4.7.11}$$

である。$C_\Sigma$ は島のあいだの容量、$n_{\mathrm g}=C_{\mathrm g}V_{\mathrm g}/e$ はゲート電圧 $V_{\mathrm g}$ で外から決める電荷（電気素量を単位とした数）である。$E_{\mathrm C}\gg k_{\mathrm B} T$ なら $n$ は 0 か 1 の2つの値しかとらず、2つのエネルギーの差は $E_1-E_0=E_{\mathrm C}(1-2n_{\mathrm g})$ である。$n_{\mathrm g}=1/2$（縮退点）で2つの状態は同じエネルギーになり、電子は等しい確率でどちらかの島にいる。これが1ビットの記憶になる。

前の節の2状態の模型と比べると、$E$ には $E_1-E_0$ が、熱浴には島の中の電子の気体が対応する。トンネルの速さは詳細つり合い $k_{0\to1}/k_{1\to0}=\mathrm{e}^{-\beta(E_1-E_0)}$ を満たすことが、磁場と温度を変えた測定で確かめられている。1回のトンネルで電子の気体へ出る熱は $\pm(E_1-E_0)$ で、近くに置いた単電子トランジスタの電流で $n$ を実時間で読むので、トンネルが起きた時刻とその瞬間のエネルギー差から、熱を1回ずつ数えられる。

Szilard エンジンの1周

J. V. Koski, V. F. Maisi, J. P. Pekola and D. V. Averin (2014), Proc. Natl. Acad. Sci. USA 111, 13786（以下 Koski ほか 2014a）は、この箱を Szilard エンジンとして動かした（数値は arXiv:1402.5907 の版による。温度 $T=102\,\mathrm{mK}$、$E_{\mathrm C}=111\,\mu\mathrm{eV}$）。1周は3段である。(1) 縮退点 $n_{\mathrm g}=1/2$ で $n$ を測る。結果 $m$ は等しい確率で 0 か 1 で、1ビットの情報が得られる。(2) 測った状態のエネルギーが低くなる向きに、$n_{\mathrm g}$ を $\Delta n_{\mathrm g}$ だけ速く動かす（$m=0$ なら $1/2-\Delta n_{\mathrm g}$ へ、$m=1$ なら $1/2+\Delta n_{\mathrm g}$ へ）。動かしているあいだにトンネルが起きなければ、電子は測った島にいて、その状態のエネルギーが下がった分だけ系は仕事をする。2つの状態のエネルギー差は $\Delta E=2E_{\mathrm C}\Delta n_{\mathrm g}$ になる。(3) $n_{\mathrm g}$ をゆっくり $1/2$ に戻す。途中で電子は熱揺らぎで高い状態へ跳び、そのたびに電子の気体から熱をもらう。

(3) を準静的に行うと、状態の分布はいつも平衡で、仕事は自由エネルギーの差に等しい。(2) の直後の平衡（エネルギー差 $\Delta E$、低い側にいる確率 $1/(1+\mathrm{e}^{-\beta\Delta E})$）から縮退点へ戻る自由エネルギーの差と、(2) で系がした仕事を合わせると、1周の仕事は

$$-W_{\mathrm{ok}}= k_{\mathrm B} T\ln\frac{2}{1+\mathrm{e}^{-\beta\Delta E}}\quad(\text{測定が正しいとき}),\qquad -W_{\mathrm{ng}}=-W_{\mathrm{ok}}-\Delta E\quad(\text{測定が誤ったとき})\tag{4.7.12}$$

になる。測定が誤ると、(2) で電子のいる状態を $\Delta E$ だけ持ち上げてしまい、電子はすぐに低い状態へトンネルして $\Delta E$ を熱として捨てる。その後の (3) は正しいときと同じである。$\Delta E\to\infty$ で $-W_{\mathrm{ok}}\to k_{\mathrm B} T\ln2$ で、Szilard の思考実験の値になる。1周で $n_{\mathrm g}$ は元に戻るので、内部エネルギーの平均は変わらず、取り出した仕事はそのまま熱浴からもらった熱である。

Koski らは、まず (3) の準静的な掃引だけを取り出して、$n_{\mathrm g}=0$（状態が確定）から $1/2$（縮退）まで動かしたときに電子の気体からもらう熱を測り、掃引を遅くするほど $k_{\mathrm B} T\ln2$ に近づくことを示した。これは消去を逆向きにたどった操作で、記憶の分布を $(1,0)$ から $(1/2,1/2)$ に広げると熱 $k_{\mathrm B} T\ln2$ を吸うことにあたる。次に $\Delta n_{\mathrm g}=0.125$ でエンジンを2944周動かし、測定とフィードバックが正しかった周の平均で $-W\approx0.9\, k_{\mathrm B} T\ln2$、全周の平均で $0.75\, k_{\mathrm B} T\ln2$ を得た。測定しないで同じ操作をすると半分の周で向きを誤るので、平均では正の仕事をする（エンジンが仕事を食う）ことになる。

誤りのある測定と相互情報量

J. V. Koski, V. F. Maisi, T. Sagawa and J. P. Pekola (2014), Phys. Rev. Lett. 113, 030601（以下 Koski ほか 2014b）は、測定の誤り率 $\varepsilon$ をわざと変えて同じエンジンを動かした（$T=100\,\mathrm{mK}$、$\Delta n_{\mathrm g}=0.167$）。読み取りの信号にかける低域通過フィルタの遮断周波数を上げると雑音が増え、$n$ を誤って読む確率が増える。$\varepsilon=0.02$、$0.05$、$0.13$ の3通りで約1000周ずつ測った。

比べる2つの分布は、測定の直後の系と結果の結合分布 $P(n,m)$ と、それぞれの分布の積 $P(n)P_{\mathrm d}(m)$ である。その $D$ が相互情報量

$$I(X;M)=D\bigl(P(n,m)\,\big\|\,P(n)P_{\mathrm d}(m)\bigr)=\ln2-h_{\mathrm b}(\varepsilon)\tag{4.7.13}$$

で（第1部第3章）、縮退点では $P(n)=P_{\mathrm d}(m)=1/2$ なので、2値対称通信路の値になる。1周ごとの確率変数としては$I(n,m)=\ln\frac{P(n\,|\,m)}{P(n)}$ を使い、正しく読んだ周で $\ln[2(1-\varepsilon)]$、誤った周で $\ln(2\varepsilon)$ をとる。平均が式 (4.7.13) である。

測定とフィードバックを含む第二法則（第4部第4章）は、沙川–上田の一般化 Jarzynski 等式

$$\langle \mathrm{e}^{-\beta(W-\Delta F)-I} \rangle =1,\qquad\text{したがって}\quad\langle W \rangle -\Delta F\ \ge\ - k_{\mathrm B} T\,I(X;M)\tag{4.7.14}$$

である（後半は Jensen の不等式）。この周期の操作では $\Delta F=0$ で、取り出せる仕事の平均は $k_{\mathrm B} T\,I(X;M)$ を超えない。

証明

(a) 正しく読む周（確率 $1-\varepsilon$）は $\mathrm{e}^{-\beta W_{\mathrm{ok}}}=\frac{2}{1+x}$、$\mathrm{e}^{-I}=\frac{1}{2(1-\varepsilon)}$、誤る周（確率 $\varepsilon$）は $\mathrm{e}^{-\beta W_{\mathrm{ng}}}=\frac{2x}{1+x}$、$\mathrm{e}^{-I}=\frac1{2\varepsilon}$ なので、平均は $(1-\varepsilon)\frac{2}{1+x}\frac{1}{2(1-\varepsilon)}+\varepsilon\frac{2x}{1+x}\frac{1}{2\varepsilon}=\frac{1+x}{1+x}=1$ である。

(b) $-\beta\langle W \rangle =(1-\varepsilon)\ln\frac2{1+x}+\varepsilon(\ln\frac2{1+x}+\ln x)$ である。$x$ で微分して0とおくと $-\frac1{1+x}+\frac{\varepsilon}{x}=0$、すなわち $x=\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}$ である。このとき $1+x=\frac1{1-\varepsilon}$ なので、$-\beta\langle W \rangle =\ln2+\ln(1-\varepsilon)+\varepsilon\ln\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}=\ln2+(1-\varepsilon)\ln(1-\varepsilon)+\varepsilon\ln\varepsilon$ である。

最適な $\Delta E$ は、誤りの代価 $\varepsilon\Delta E$ と、正しいときの取り分 $\ln\frac{2}{1+x}$ の釣り合いで決まる。$\Delta E$ を大きくしすぎると誤ったときに捨てる熱が増え、小さすぎると正しいときに取り出せる量が減る。最適な点で上限 $I(X;M)$ にちょうど届くことは、測定で得た情報が余さず仕事になる可逆なフィードバックの条件と一致する。実験では $\Delta n_{\mathrm g}$ を固定したので、$\varepsilon$ が大きいほど上限との差が開く（図 4.7.4）。Koski らは、誤り率が小さいところで取り出した仕事の平均がおよそ $0.7\, k_{\mathrm B} T\ln2$ であること、そして式 (4.7.14) の左辺が誤差の範囲で1になることを、3通りの $\varepsilon$ で確かめた。(3) が完全には準静的でないことと、測定から (2) まで数 ms の遅れのあいだに電子が跳ぶことのために、実験の値は命題の理想より小さい。論文は、この2つの効果を入れた式で測定の分布を再現している。