この章のまとめ

(1) 準位は $\nu=0$ で $-2t$、$\nu=1,5$ で $-t$、$\nu=2,4$ で $t$、$\nu=3$ で $2t$ である。電子6個は下の3準位にスピンを逆にして2個ずつ入り、エネルギーは $2(-2t-t-t)=-8t$ である。

(2) $2ka=0$ では $\lvert t_1+t_2\rvert =2t$。$2ka=\pm2\pi/3$ では $\lvert t_1+t_2\mathrm{e}^{\mp2\pi\mathrm{i}/3}\rvert ^2=t_1^2+t_2^2+2t_1t_2\cos\frac{2\pi}3=t_1^2+t_2^2-t_1t_2$ で、$t_1^2+t_2^2=2t^2+2y^2$, $t_1t_2=t^2-y^2$ を入れると $t^2+3y^2$ になる。下の3準位 $-2t$, $-\sqrt{t^2+3y^2}$（2つ）に2個ずつ入れて、電子のエネルギーは $-4t-4\sqrt{t^2+3y^2}$ である。$y=0$ で $-8t$ に戻る。

(3) 全エネルギーの変化は

$$\Delta E=-4t\bigl(\sqrt{1+3z^2}-1\bigr)+\frac{3Kt^2}{\alpha^2}z^2\approx\Bigl(-6t+\frac{3Kt^2}{\alpha^2}\Bigr)z^2$$

である（ばねは $6Ky^2/(2\alpha^2)=3Kt^2z^2/\alpha^2$）。$z^2$ の係数が負になる条件は $2\alpha^2/(Kt)>1$、すなわち $\lambda>1/\pi=0.318$ である。式 (2.8.2) では $2\alpha^2/(Kt)=33.62/52.5=0.640<1$（$\lambda=0.204$）なので、小さな2量体化は全エネルギーを上げる。さらに $\sqrt{1+x}\le1+x/2$ から $\sqrt{1+3z^2}-1\le\frac32z^2$ なので、$\Delta E\ge(-6t+3Kt^2/\alpha^2)z^2$ がすべての $z$ で成り立つ。係数は $-15+23.42=8.42\,\mathrm{eV}>0$ なので、$z\neq0$ ではつねに $\Delta E>0$ である。ポリアセチレンと同じ $t$, $\alpha$, $K$ を使っても、ベンゼンは6本の結合の長さがそろった形にとどまる。等間隔の輪ですでに HOMO（$-t$）と LUMO（$t$）の間に $2t$ の差があり、対数の得が生じないからである。

(4) $2ka=0$ で $\pm2t$、$2ka=\pi$ で $\pm\lvert t_1-t_2\rvert =\pm2\lvert y\rvert$ である。電子4個は $-2t$ と $-2\lvert y\rvert$ に2個ずつ入り、電子のエネルギーは $-4t-4\lvert y\rvert$ になる。ばねは $4Ky^2/(2\alpha^2)=2Ky^2/\alpha^2$ なので $\Delta E=-4\lvert y\rvert +2Ky^2/\alpha^2$。$\lvert y\rvert$ が小さいとき1次の得が2次の損に必ず勝つので、$\lambda$ によらず歪む。$\mathrm{d}\Delta E/\mathrm{d}\lvert y\rvert =-4+4K\lvert y\rvert /\alpha^2=0$ から $\lvert y\rvert =\alpha^2/K=16.81/21=0.800\,\mathrm{eV}$、$\lvert u\rvert =\lvert y\rvert /(2\alpha)=0.0976\,\mathrm{\AA}$ である。$y=0$ で $0$ の準位が2つ縮退して電子2個が半分だけ埋めていたのが、歪みで分かれる。Jahn–Teller 効果と同じ仕組みである。この歪みは 2.8.3節の $u_0$ の2倍以上あり、ホッピングを $u$ の1次で打ち切った近似の範囲を超えかけている。

(5) $4t\sin(\pi/N)<2\Delta_0$ から $\sin(\pi/N)<1.30/10=0.130$、$\pi/N<0.1304$、$N>24.1$ である。$4m+2$ の形で最小のものは $N=26$ になる。数値の答え $N=18$ はこの見積もりより小さい。見積もりは「対数の得が始まるのは、等間隔の輪の差が鎖のギャップより小さくなってから」という粗い判定で、実際には差がギャップと同じ桁（$N=18$ で $4t\sin(\pi/18)=1.74\,\mathrm{eV}$）でも、Fermi 準位から離れた多数の準位の2次の得の和が損を上回る。それでも、$N=6$ の輪（ベンゼン）が等間隔で、数十個の炭素の輪から先が2量体化するという大きさの区分は見積もりでとらえられている。$N\to\infty$ では輪のサイト1個あたりのエネルギーは無限の鎖の式 (2.8.8) に近づき、$4m$ と $4m+2$ の区別は消える。