出てくるもの3：磁場と Berry 曲率がそろうと相空間の体積の測り方が変わる

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第11章 §4.11.5　★★ $\bm{B}$ と $\bm{\Omega}_n$ が両方あると Liouville の定理で保たれる体積は $\mathrm{d}^3r\,\mathrm{d}^3k$ でなく $D\,\mathrm{d}^3r\,\mathrm{d}^3k$、$D=1+\frac e\hbar\bm{B}\cdot\bm{\Omega}_n$。状態の数が磁場で変わり、Hall 伝導度を電子の数の磁場微分で書く式が出る

括弧と運動方程式

磁場 $\bm{B}$ が一様で、$\bm{\Omega}_n$ もある場合に、命題 4.11.1 を式 (4.11.3) に当てる。$a_{\bm{r}}=\hbar\bm{k}-e\bm{A}(\bm{r})$ から$\omega_{r_ir_j}=-e\sum_l\epsilon_{ijl}B_l$ が加わる。6行6列の $\omega$ の逆行列を計算すると、

$$\{r_i,r_j\}=\frac{\sum_l\epsilon_{ijl}\Omega_{n,l}}{\hbar D},\qquad \{k_i,k_j\}=-\frac{e\sum_l\epsilon_{ijl}B_l}{\hbar^2D},\qquad \{r_i,k_j\}=\frac{\delta_{ij}+\frac e\hbar B_i\Omega_{n,j}}{\hbar D}\tag{4.11.20}$$

を得る。ここで

$$D(\bm{k})\coloneqq1+\frac e\hbar\bm{B}\cdot\bm{\Omega}_n(\bm{k})\tag{4.11.21}$$

である。$\{k_i,k_j\}\neq0$ は、磁場があると $\hbar\bm{k}$（運動学的運動量）の成分どうしが交換しないという第2部第2章の結果と同じものである。磁場と Berry 曲率がそろうと、両方の効果が分母の $D$ を通して互いに混ざる。連立方程式 (4.11.11)・(4.11.12) を $\dot{\bm{r}}$ と $\dot{\bm{k}}$ について解いても同じことが分かる。$\bm{v}_n\coloneqq\nabla_{\bm{k}}\varepsilon _n/\hbar$ とおくと

$$D\,\dot{\bm{r}}=\bm{v}_n+\frac e\hbar\bm{E}\times\bm{\Omega}_n+\frac e\hbar(\bm{v}_n\cdot\bm{\Omega}_n)\bm{B},\qquad D\,\hbar\dot{\bm{k}}=-e\bm{E}-e\bm{v}_n\times\bm{B}-\frac{e^2}{\hbar}(\bm{E}\cdot\bm{B})\bm{\Omega}_n\tag{4.11.22}$$

である（右辺を元の式に入れて確かめられる）。

Liouville の定理の測度

第1部第12章の Liouville の定理は、正準変数 $(q,p)$ で測った相空間の体積が時間発展で保たれることだった。$(\bm{r},\bm{k})$ は正準変数ではないので、$\mathrm{d}^3r\,\mathrm{d}^3k$ が保たれる保証は無い。実際、式 (4.11.22) から $\nabla_{\bm{k}}\cdot\dot{\bm{k}}$ を計算すると、一般には $0$ にならない。一方、$D\dot{\bm{r}}$ と $D\dot{\bm{k}}$ の発散をとると、一様な $\bm{E}$, $\bm{B}$ のもとで

$$\nabla_{\bm{r}}\cdot(D\dot{\bm{r}})=0,\qquad \nabla_{\bm{k}}\cdot(D\hbar\dot{\bm{k}})=-e\nabla_{\bm{k}}\cdot(\bm{v}_n\times\bm{B})-\frac{e^2}{\hbar}(\bm{E}\cdot\bm{B})\nabla_{\bm{k}}\cdot\bm{\Omega}_n=0$$

となる。第2式の第1項は $\bm{B}\cdot(\nabla_{\bm{k}}\times\bm{v}_n)$ で、$\bm{v}_n$ が勾配なので $0$、第2項は回転の発散なので $0$ である。したがって相空間の密度について

$$\frac{\partial D}{\partial t}+\nabla_{\bm{r}}\cdot(D\dot{\bm{r}})+\nabla_{\bm{k}}\cdot(D\dot{\bm{k}})=0\tag{4.11.23}$$

が成り立ち（$D$ は時間によらない）、保たれる体積は $D\,\mathrm{d}^3r\,\mathrm{d}^3k$ である。この $D$ は、6行6列の $\omega$ の行列式の平方根を $\hbar^3$ で割ったものに等しい（$\sqrt{\det\omega}=\hbar^3D$）。Darboux の定理の正準変数 $(\bm{R},\bm{P})$ に移れば体積は $\mathrm{d}^3R\,\mathrm{d}^3P$ で、それを $(\bm{r},\bm{k})$ で書き直したときの Jacobian が $D$ になっている。第3部第1章（第3部第1章）で状態を数える測度を $\mathrm{d} q\,\mathrm{d} p/h$ に選んだのは正準変数で測る約束だったので、$(\bm{r},\bm{k})$ で数えるなら単位体積あたりの状態の数は

$$D(\bm{k})\,\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}=\Bigl(1+\frac e\hbar\bm{B}\cdot\bm{\Omega}_n\Bigr)\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}\tag{4.11.24}$$

となる。この補正は Xiao・Shi・Niu が指摘した（D. Xiao, J. Shi and Q. Niu (2005), Phys. Rev. Lett. 95, 137204）。なお $\bm{B}$ の1次では、バンドのエネルギー自体も軌道磁気モーメントの分だけ $\varepsilon _n\to\varepsilon _n-\bm{m}_n(\bm{k})\cdot\bm{B}$ とずれる（Sundaram–Niu 1999）。この章ではこのずれを入れない。次の小節のようにバンドがすべて詰まった絶縁体では、エネルギーが少しずれても占有は変わらないので、結論は変わらない。

電子の数の磁場微分と Hall 伝導度

2次元の絶縁体で、詰まったバンド $n$ の電子の面密度は、式 (4.11.24) の2次元版から $n_{\mathrm e}=\int_{\mathrm{BZ}}(1+\frac e\hbar B\Omega_n)\frac{\mathrm{d}^2k}{(2\pi)^2}$ である。化学ポテンシャルをギャップの中に固定したまま磁場を変えると

$$\Bigl(\frac{\partial n_{\mathrm e}}{\partial B}\Bigr)_{\mu}=\frac e\hbar\int_{\mathrm{BZ}}\Omega_n\frac{\mathrm{d}^2k}{(2\pi)^2}=\frac{e}{h}C_n,\qquad \sigma_{xy}=-e\Bigl(\frac{\partial n_{\mathrm e}}{\partial B}\Bigr)_{\mu}\tag{4.11.25}$$

となる。第2式は式 (4.11.17) と比べて得た。電荷密度 $-en_{\mathrm e}$ の磁場微分が Hall 伝導度に等しいというこの関係は、P. Středa (1982), J. Phys. C 15, L717 が量子 Hall 効果について導いたもので、Středa の式と呼ばれる。Hall 伝導度（電場への応答）が、平衡状態の電子の数の磁場依存性という熱力学の量で書けることを言っている。ここで電子の面密度に $n_{\mathrm e}$ と添字を付けたのは、バンド添字 $n$ と区別するためである。

Onsager の量子化の位相

第10章では、磁場の中で $\bm{k}$ 空間の閉軌道が囲む面積 $\mathcal A$ を Bohr–Sommerfeld の条件で量子化し、Onsager の関係$\mathcal A_\nu=2\pi eB(\nu+\gamma)/\hbar$ を得た。そこでは $\gamma=\frac12$ とし、Berry 位相があると $\gamma$ がずれることをこの章へ送った。Bohr–Sommerfeld の条件は「軌道を一周したときに波動関数が拾う位相の合計が $2\pi$ の整数倍」という条件で、$\gamma=\frac12$ は2つの転回点で拾う位相から出る（第4部第7章、第4部第7章）。式 (4.11.3) の Lagrangian では、波束が $\bm{k}$ 空間の閉軌道を一周するとき、第2項 $\hbar\dot{\bm{k}}\cdot\bm{A}_n$ から作用に $\hbar\Gamma_n$ が加わる。ここで $\Gamma_n=\oint\bm{A}_n\cdot\mathrm{d}\bm{k}$ は軌道に沿った Berry 位相で、軌道が囲む面を貫く $\bm{\Omega}_n$ の流束に等しい。この位相を位相の合計に足すと

$$\mathcal A_\nu=\frac{2\pi eB}{\hbar}\Bigl(\nu+\frac12-\frac{\Gamma_n}{2\pi}\Bigr)\tag{4.11.26}$$

となる（G. P. Mikitik and Yu. V. Sharlai (1999), Phys. Rev. Lett. 82, 2147）。$\Gamma_n$ の符号は軌道を回る向きで決まるが、$\Gamma_n=\pm\pi$ なら向きによらず $\gamma=0$（$2\pi$ の整数倍の違いは $\nu$ の付け替えで吸収される）。質量の無い Dirac 模型（例題 4.11.1 で $M\to0$）では、原点を囲む軌道の Berry 位相は $\pi$ で、$\gamma=0$ になる。$\mathcal A=\pi q^2$、$\varepsilon =\hbar vq$ を入れるとLandau 準位 $\varepsilon _\nu=\sqrt{2e\hbar v^2B\nu}$ が出て、$\nu=0$ の準位がエネルギー $0$ に残る。この準位の位置は、Dirac 方程式の Landau 準位を厳密に解いた結果と一致し、グラフェンの量子 Hall 効果の測定で確かめられた（Y. Zhang, Y.-W. Tan, H. L. Stormer and P. Kim (2005), Nature 438, 201）。$\bm{B}$ の1次では軌道磁気モーメントによるエネルギーのずれも同じ次数で入るので、質量のある場合の $\gamma$ を定量的に出すにはそれも足す必要がある。