この章のまとめ

(1) $v=\frac1\hbar\frac{\mathrm{d} \varepsilon }{\mathrm{d} k}=\frac{2t_{\mathrm h}a}{\hbar}\sin ka$ で、$\cos ka=-\varepsilon /(2t_{\mathrm h})$ から $\lvert v\rvert =\frac{a}{\hbar}\sqrt{4t_{\mathrm h}^2-\varepsilon ^2}$。1次元で長さあたり・両スピンの状態密度は $D(\varepsilon )=\frac{2}{\pi\hbar\lvert v\rvert }$（$\pm k$ の2つの枝を含む）なので、(4.3.7) の1次元版は$\sigma(\varepsilon )=e^2\tau v^2D(\varepsilon )=\frac{2e^2\tau}{\pi\hbar}\lvert v\rvert =\frac{2e^2\tau a}{\pi\hbar^2}\sqrt{4t_{\mathrm h}^2-\varepsilon ^2}$ である。バンドの中央で最大、両端で $0$ になる半円の形である。$\varepsilon =\varepsilon _{\mathrm F}$ と置けば前の章の $\sigma=2e^2\tau v_{\mathrm F}/(\pi\hbar)$ に一致する。

(2) $\mathrm{d}\ln\sigma/\mathrm{d}\varepsilon =-\varepsilon /(4t_{\mathrm h}^2-\varepsilon ^2)$。$\mu=-2t_{\mathrm h}\cos(\pi\nu/2)$ を入れ、$4t_{\mathrm h}^2-\mu^2=4t_{\mathrm h}^2\sin^2(\pi\nu/2)$ を使うと、(4.3.16) から

$$S=-\frac{\pi^2}{3}\frac{ k_{\mathrm B}}{e}\, k_{\mathrm B} T\,\frac{\cos(\pi\nu/2)}{2t_{\mathrm h}\sin^2(\pi\nu/2)} .$$

$\nu<1$ では $\mu<0$ で $\sigma(\varepsilon )$ は上り坂なので $S<0$（電子のように振る舞う）、$\nu>1$ では下り坂で $S>0$（正孔のように振る舞う）。$\nu=1$ では $\sigma(\varepsilon )$ の頂上にいて $S=0$ である。$\nu\to2-\nu$ で $\cos(\pi\nu/2)$ の符号が変わり $\sin^2$ は変わらないので、$S(2-\nu)=-S(\nu)$。これはバンドの粒子正孔対称 $\sigma(-\varepsilon )=\sigma(\varepsilon )$ の表れである。

(3) $k_{\mathrm B} T=25.85\,\mathrm{meV}$。$\nu=0.5$ で $\cos(\pi/4)/\sin^2(\pi/4)=\sqrt2$ なので$S_A=-3.290\times86.17\,\mu\mathrm{V\,K^{-1}}\times\frac{0.02585\times1.414}{1.0}=-10.4\,\mu\mathrm{V\,K^{-1}}$、$S_B=+10.4\,\mu\mathrm{V\,K^{-1}}$。熱電対の起電力は $(S_B-S_A)\Delta T=20.7\,\mu\mathrm{V\,K^{-1}}\times10\,\mathrm K=0.207\,\mathrm{mV}$。符号の逆な2つを組むと、同じ物質の鎖でも起電力が2倍になる。

(4) $\Pi_A=TS_A=300\times(-10.4\,\mu\mathrm V/\mathrm K)=-3.11\,\mathrm{mV}$、$\Pi_B=+3.11\,\mathrm{mV}$。電流 $1\,\mathrm A$ を A から B へ流すと、接合へ流れ込む熱流 $\Pi_AI$ と出ていく熱流 $\Pi_BI$ の差$(\Pi_B-\Pi_A)I=6.22\,\mathrm{mW}$ だけ接合から熱が奪われ、接合が冷える（逆向きの電流なら温まる）。$\Pi=TS$ を使えたのは Onsager の相反定理による。$ZT=S^2/L_0=(10.4\times10^{-6})^2/(2.443\times10^{-8})=4.4\times10^{-3}$。自由電子の Cu（$10^{-4}$）より大きいが、バンドの中央付近を使う限り $S$ は $k_{\mathrm B}/e$ の $k_{\mathrm B} T/t_{\mathrm h}$ 倍の大きさにとどまる。

(5) $\nu=0.05$ では $\varepsilon _{\mathrm F}+2t_{\mathrm h}=2t_{\mathrm h}(1-\cos(\pi\nu/2))=3.08\,\mathrm{meV}$ で、Fermi 準位とバンドの底の距離が $k_{\mathrm B} T=25.9\,\mathrm{meV}$ より小さい。Mott 公式は $\sigma(\varepsilon )$ が $\mu$ のまわり $k_{\mathrm B} T$ の幅で滑らかなことを前提にしているが、ここではその幅の中にバンドの底（$\sigma$ が $\sqrt{\varepsilon +2t_{\mathrm h}}$ で $0$ になる点）がある。Mott 公式を使うと $S=-1.19\,\mathrm{mV\,K^{-1}}$ だが、(4.3.8) を数値で積分した値（電子数一定から決めた $\mu=-2.033t_{\mathrm h}$ を使う）は $-0.204\,\mathrm{mV\,K^{-1}}$ で、Mott 公式は 5.8 倍も大きすぎる。有限温度では $\mu$ はバンドの底より $0.64 k_{\mathrm B} T$ 下に下がっていて、電子は非縮退の気体に近い。底の近くで $\sigma\propto(\varepsilon +2t_{\mathrm h})^{1/2}$ なので、(4.3.19) の $3/2+r$ を $1/2$ に置き換えた非縮退の式 $S=-\frac{ k_{\mathrm B}}{e}[\frac{-2t_{\mathrm h}-\mu}{ k_{\mathrm B} T}+\frac32]=-2.14\, k_{\mathrm B}/e$ が、厳密な $-2.37\, k_{\mathrm B}/e$ に1割の差で近い。図 4.3.3 のとおり、Mott 公式は Fermi 準位がバンドの端から数 $k_{\mathrm B} T$ 以上離れているとき（ここでは $0.2\lesssim\nu\lesssim1.8$）に限って使うことができる。これが 4.3.5節の Sommerfeld 展開の札の「条件付き」の中身である。