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授業で習った形との対応

2026年10月15日6分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第5部 第6章 終章：トポロジカル物質への入口と、この巻で削ったもの
目次
  1. Hall 効果と Landau 準位
  2. 満ちたバンドは電流を運ばない、の範囲
  3. 絶縁体の分類
  4. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第5部 第6章 §5.6.6　★★ 古典の Hall 効果 σxy=−ne/B\sigma_{xy}=-ne/B と Landau 準位の数え上げは、Chern 数の式の特別な場合である。「満ちたバンドは電流を運ばない」は縦の電流についてだけ正しい

Hall 効果と Landau 準位

授業では、Hall 効果を Drude の運動方程式から出す。電荷 −e-e・密度 nn の電子が磁場 BezB\bm{e}_z の中で定常的に流れると、E+v×B=0\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B}=\bm{0} から v=E×B/B2\bm{v}=\bm{E}\times\bm{B}/B^2 で、電流は

j=−neE×BB2,σxy=−neB(5.6.13)\bm{j}=-ne\frac{\bm{E}\times\bm{B}}{B^2},\qquad \sigma_{xy}=-\frac{ne}{B}\tag{5.6.13}

になる（jx=σxyEyj_x=\sigma_{xy}E_y。散乱の時間 τ\tau によらない）。次に、磁場の中の2次元の電子のエネルギーが Landau 準位 εν=ℏωc(ν+12)\varepsilon _\nu=\hbar\omega_{\mathrm c}(\nu+\frac12) に分かれ、1つの準位に単位面積あたり eB/heB/h 個（スピン1つあたり）の状態があることを習う。ν\nu 本の準位がちょうど満ちると n=νeB/hn=\nu eB/h で、これを式 (5.6.13) に入れると

σxy=−νe2h\sigma_{xy}=-\nu\frac{e^2}{h}

になる。授業の量子 Hall 効果の説明は、ここで止まることが多い。

この章の形では、満ちたバンドの Hall 伝導度は σxy=−C e2/h\sigma_{xy}=-C\,e^2/h で、CC は満ちたバンドの Chern 数の和である。2つの式を比べると、磁場の中の満ちた Landau 準位1本の Chern 数は +1+1 である（この本の符号の流儀で、BB が +z+z を向くとき）。授業の説明が Drude の式に密度を入れるだけで済んだのは、Landau 準位が特別に一様で、Berry 曲率が Brillouin 域（磁場の中では磁気 Brillouin 域）に均一に広がっているからである。Chern 数の式は、磁場の無い QWZ 模型にも、乱れで Landau 準位が広がった場合にも同じ形で使える。授業で習った段の平らさ（乱れがあっても値が変わらないこと）は、Chern 数が整数であることの言い換えである。

満ちたバンドは電流を運ばない、の範囲

授業では、満ちたバンドは電流を運ばないと習う。理由は、群速度 1ℏ∇kεn\frac1\hbar\nabla_{\bm{k}}\varepsilon _n を Brillouin 域全体で足すと、εn\varepsilon _n が周期関数なので 00 になることである（検算で QWZ の下のバンドについて数値で 00 になることを確かめた）。この議論は、電場の向き（縦）の電流については正しい。しかし半古典運動の速度には、群速度のほかに異常速度 −k˙×Ωn-\dot{\bm{k}}\times\bm{\Omega}_n がある（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第11章）。電場の中で ℏk˙=−eE\hbar\dot{\bm{k}}=-e\bm{E} は全部の電子に共通なので、異常速度を満ちたバンドで足すと eℏE×ez∫Ωn d2k(2π)2\frac{e}{\hbar}\bm{E}\times\bm{e}_z\int\Omega_n\,\frac{\mathrm{d}^2k}{(2\pi)^2} が残り、これは 2πCn2\pi C_n に比例する。Berry 曲率の積分は周期関数の微分の積分ではない（An\bm{A}_n は Brillouin 域の上で周期的に選べるとは限らない）ので、00 になる理由が無い。「満ちたバンドは電流を運ばない」は、正しくは「満ちたバンドは電場の向きの電流を運ばない。電場と直交する向きの電流は Chern 数だけ運ぶ」である。

絶縁体の分類

授業の分類（第2部第7章）では、バンドが満ちていてギャップがあれば絶縁体で、それ以上の区別は無い。この章の形では、同じ絶縁体の中に、ギャップを閉じずに互いに移れない組がある。区別の目印は、2次元で時間反転が無ければ Chern 数（整数）、時間反転があれば Z2\mathbb{Z}_2 の不変量（偶奇）である。区別は、バルクの電気伝導（どちらも 00）や光の吸収端（どちらもギャップで決まる）には現れず、Hall 伝導度と端の状態に現れる。

例題 5.6.6　Landau 準位の数え上げと Drude の Hall 伝導度 ★★

オリジナル2次元の電子に B=10 TB=10\,\mathrm T の磁場を掛ける。

  1. (1) 1つの Landau 準位の単位面積あたりの状態の数 eB/heB/h を求めよ。
  2. (2) 電子の面密度が n=2eB/hn=2eB/h のとき、Drude の式 (5.6.13) の σxy\sigma_{xy} を求め、−2e2/h-2e^2/h と一致することを確かめよ。
  3. (3) 自由電子の質量で Landau 準位の間隔 ℏωc=ℏeB/m\hbar\omega_{\mathrm c}=\hbar eB/m を求め、ν=2\nu=2 の段が見えるために温度に要る条件を述べよ。
解答

(1) eB/h=1.602×10−19×10/(6.626×10−34)=2.418×1015 m−2eB/h=1.602\times10^{-19}\times10/(6.626\times10^{-34})=2.418\times10^{15}\,\mathrm{m^{-2}}。

(2) n=4.836×1015 m−2n=4.836\times10^{15}\,\mathrm{m^{-2}} で σxy=−ne/B=−4.836×1015×1.602×10−19/10=−7.748×10−5 S\sigma_{xy}=-ne/B=-4.836\times10^{15}\times1.602\times10^{-19}/10=-7.748\times10^{-5}\,\mathrm S。−2e2/h=−2×3.874×10−5=−7.748×10−5 S-2e^2/h=-2\times3.874\times10^{-5}=-7.748\times10^{-5}\,\mathrm S と一致する。式の上では n=νeB/hn=\nu eB/h を入れると −νe2/h-\nu e^2/h になるので、一致は偶然でない。

(3) ℏωc=1.0546×10−34×1.602×10−19×10/(9.109×10−31)=1.855×10−22 J=1.158 meV\hbar\omega_{\mathrm c}=1.0546\times10^{-34}\times1.602\times10^{-19}\times10/(9.109\times10^{-31})=1.855\times10^{-22}\,\mathrm J=1.158\,\mathrm{meV}。3番目の準位へ電子が熱で上がらないためには kBT≪ℏωck_{\mathrm B} T\ll\hbar\omega_{\mathrm c}、つまり T≪13 KT\ll13\,\mathrm K が要る。実際の半導体では有効質量が小さいので間隔はこれより大きくなる（GaAs の m∗≈0.067mem^*\approx0.067m_{\mathrm e} なら約15倍）。Drude の式は散乱の時間によらないが、段が平らになって縦の抵抗が 00 に落ちるには、満ちた準位と空の準位の間のギャップ（ここでは ℏωc\hbar\omega_{\mathrm c}）が熱より大きいことが要る。Chern 数による量子化がギャップを前提にするのと同じ条件である。

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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