この章のまとめ

(1) 時間反転で移った行列 $h_\uparrow(-\bm{k})^*$ の Berry 曲率は $\Omega_\downarrow(\bm{k})=-\Omega_\uparrow(-\bm{k})$ である（複素共役を取ると Berry 曲率の符号が変わる。$\bm{k}\to-\bm{k}$ の変数の取り替えでは $k_x$ と $k_y$ がともに符号を変えるので、Brillouin 域の積分の値は変わらない）。Brillouin 域で積分すると $C_\downarrow=-C_\uparrow=+1$。格子の上の数値でも $C_\downarrow=+1$ になった。全体の Chern 数は $C_\uparrow+C_\downarrow=0$ で、$\sigma_{xy}=-(C_\uparrow+C_\downarrow)e^2/h=0$ である。

(2) $h_\downarrow$ の板の行列は、5.6.3節の計算で $k_x\to-k_x$ とし、すべての係数を複素共役にしたものである。$| -_x \rangle$ は実のベクトルなので同じ形の解があり、エネルギーは $-t_{\mathrm h}\sin(-k_xa)=+t_{\mathrm h}\sin k_xa$、存在の条件は $\lvert 1+\cos k_xa\rvert <1$ で ↑ と同じ $\lvert k_xa\rvert >\pi/2$ である。下の端では ↑ が $-t_{\mathrm h}\sin k_xa$（$k_xa=\pi$ で傾き $+t_{\mathrm h}a$、$+x$ へ進む）、↓ が $+t_{\mathrm h}\sin k_xa$（$-x$ へ進む）で、2本は $k_xa=\pi$、$\varepsilon =0$ で交わる。$k_xa=\pi$ は $-\pi/a$ と逆格子ベクトルだけ違う同じ点で、時間反転で自分に移るので、交点は Kramers の縮退で守られる。

(3) 2端子の間を、上の端と下の端がそれぞれ ↑ と ↓ の線を1本ずつ持ってつなぐ。電流を左から右へ運ぶ線は、下の端の ↑ と上の端の ↓ の2本で、1本あたり $e^2/h$ なので$G=2e^2/h=7.748\times10^{-5}\,\mathrm S$、抵抗は $h/(2e^2)=12.906\,\mathrm k\Omega$ である。

(4) $b=\mu_{\mathrm B}B=5.788\times10^{-5}\,\mathrm{eV}\times1=5.79\times10^{-5}\,\mathrm{eV}$。$h_{\mathrm{edge}}$ の固有値は $\pm\sqrt{(\hbar vk')^2+b^2}$ なので、交点に $2b=0.116\,\mathrm{meV}$ のギャップが開く。$x$ を向いた磁場は時間反転を破るので、Kramers の縮退による保護が外れる。$k_{\mathrm B} T=2b$ となる温度は $T=1.16\times10^{-4}/(8.617\times10^{-5})=1.34\,\mathrm K$ で、これより十分低温でないと、熱による励起がこのギャップを越えてしまう。

(5) $\hbar v=1.0546\times10^{-34}\times7.60\times10^5/(1.602\times10^{-19})=5.00\times10^{-10}\,\mathrm{eV\,m}$、$eE=10^4\,\mathrm{eV\,m^{-1}}$ なので $\hbar v\,eE=5.00\times10^{-6}\,\mathrm{eV^2}$。ギャップの半分は $M=b$ なので、式 (5.6.12) の指数は $\pi b^2/(\hbar veE)=\pi\times3.35\times10^{-9}/5.00\times10^{-6}=2.1\times10^{-3}$ で、$P=0.998$。この $P$ は、電子が端の ↑ の線（$+x$ へ進む）にとどまったまま交点を通り抜ける確率である。残りの $0.2\%$ だけが ↓ の線へ移り、向きを変えて戻る。したがってこの磁場と電場では、伝導度は $2e^2/h$ からほとんど変わらない。磁場を強くするか電場を弱くして $\pi b^2/(\hbar veE)$ が $1$ を超えると、交点で電子が跳ね返されるようになり、端の伝導が抑えられる。(4) の熱の条件と合わせると、時間反転を破る摂動で端の伝導を止めるには、ギャップ $2b$ が熱と、電場で交点を通り抜ける速さの両方より大きい必要がある。