何の実験の量で確かめるか

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第5部 第6章 §5.6.5　★★ 量子化した Hall 抵抗 $h/e^2$、磁場なしの量子異常 Hall 効果、量子スピン Hall の $2e^2/h$、表面の Dirac コーン

量子 Hall 効果と抵抗の標準

整数の Chern 数が実験に直接出る量は、Hall 抵抗である。K. von Klitzing, G. Dorda and M. Pepper (1980), Phys. Rev. Lett. 45, 494 は、強い磁場の中の2次元の電子（シリコンの MOS 構造の反転層。第4部第9章）で、Hall 抵抗が試料によらない値 $h/(\nu e^2)$（$\nu$ は整数）の平らな段を作り、そこで縦の抵抗が $0$ に落ちることを見つけた。この整数が満ちた Landau 準位の Chern 数の和であることは D. J. Thouless, M. Kohmoto, M. P. Nightingale and M. den Nijs (1982), Phys. Rev. Lett. 49, 405 が示した。2019年の SI の改定で $h$ と $e$ は定義値になったので、$h/e^2$ は誤差の無い数である。量子 Hall 効果は、抵抗の単位を実現する方法として使われている。

磁場の要らない量子 Hall 効果

QWZ 模型のように、磁場が無くても Chern 数が $0$ でない絶縁体をChern 絶縁体と呼ぶ。そのような模型を蜂の巣格子で最初に書いたのは F. D. M. Haldane (1988), Phys. Rev. Lett. 61, 2015 である。時間反転の対称性があると全体の Chern 数は $0$ になる（5.6.3節）ので、Chern 絶縁体を作るには磁化で時間反転を破る必要がある。C.-Z. Chang et al. (2013), Science 340, 167 は、Cr を混ぜた (Bi,Sb)$_2$Te$_3$ の薄膜で、外から磁場を掛けずに Hall 抵抗が $h/e^2$ に達し、縦の抵抗が大きく下がることを観測した。これを量子異常 Hall 効果と呼ぶ。異常 Hall 効果（第5部第5章）の Hall 伝導度が、バンドの Berry 曲率を満ちたバンド全体で積分した整数になった場合にあたる。

量子スピン Hall 効果と表面の Dirac コーン

量子スピン Hall 絶縁体の端には ↑ と ↓ の線が1本ずつあるので、試料の両端に電極を付けた2端子の伝導度は、2つの端の合わせて2本の線で $2e^2/h$ になるはずである。B. A. Bernevig, T. L. Hughes and S.-C. Zhang (2006), Science 314, 1757 は、HgTe の量子井戸が一定の厚さより厚いとバンドの並び方が反転してこの絶縁体になると予言し、M. König et al. (2007), Science 318, 766 は、厚さ $6.3\,\mathrm{nm}$ より厚い井戸で、内部が絶縁体になる条件でも伝導度が $2e^2/h$ 付近に残り、それが試料の幅によらないことを観測した。幅によらないことは、電流が内部でなく端を流れていることを示している。

3次元では、時間反転を保つ絶縁体の表面に、奇数個の Dirac コーン（第2部第9章の形のもの）が現れる。表面の Dirac コーンは角度分解光電子分光（ARPES）でバンドを直接見ることで確かめられ、D. Hsieh et al. (2008), Nature 452, 970 が Bi$_{1-x}$Sb$_x$ で、Y. Xia et al. (2009), Nature Physics 5, 398 が Bi$_2$Se$_3$ で、表面の状態を観測した。

この巻の実験の量を振り返ると、第1部の回折の像、第2部の吸収端とバンド図、第3部の比熱とフォノンの分散、第4部の伝導度・Hall 係数・熱電係数・吸収のスペクトル、第5部の磁化率・比熱の跳び・超伝導ギャップと続いた（第1部第1章の地図）。そのほとんどは、模型のパラメータ（$t$・$K$・$\tau$・$J$）を合わせて初めて模型と比べられる連続の量だった。量子化した Hall 抵抗だけは、模型のパラメータによらない整数として比べられる。削った量が値に入らないことが、トポロジーで決まる量の特徴である。