当てる道具：時間をずらす生成子としての $H$

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第2章 §4.2.2　★★★ 時間発展をユニタリな1径数変換群と要請すると、生成子はエルミートな $\hat H$ で、Schrödinger 方程式はその微分形になる

時間発展の演算子

時刻 $0$ の状態から時刻 $t$ の状態を作る写像を $\hat U(t)$ と書き、$| \psi(t) \rangle =\hat U(t)| \psi(0) \rangle$ とする。$H$ が時刻を含まない系について、$\hat U(t)$ に次の3つを要請する。第一に、重ね合わせを保つ（線形）。第二に、全確率 $\langle \psi | \psi \rangle$ を変えない（ユニタリ、$\hat U^\dagger\hat U=1$）。第三に、時間 $s$ 進めてから $t$ 進めることは $t+s$ 進めることと同じ（$\hat U(t)\hat U(s)=\hat U(t+s)$, $\hat U(0)=1$）。これは第1部第9章の1径数変換群の条件で、古典の時間発展の流れ $\phi_t$ が満たしていた性質を量子の状態へ写したものである。

第1部第9章と同じく、$\hat U$ を小さい $\mathrm{d} t$ について1次まで展開し、

$$\hat U(\mathrm{d} t)=1-\frac{\mathrm{i}\,\mathrm{d} t}{\hbar}\hat H+\mathcal{O}(\mathrm{d} t^2)\tag{4.2.7}$$

と書いて生成子 $\hat H$ を定義する。ユニタリ性 $\hat U^\dagger\hat U=1-\frac{\mathrm{i}\,\mathrm{d} t}{\hbar}(\hat H-\hat H^\dagger)+\mathcal{O}(\mathrm{d} t^2)=1$ から $\hat H^\dagger=\hat H$ が従う。群の性質から $\hat U(t+\mathrm{d} t)=\hat U(\mathrm{d} t)\hat U(t)$ で、式 (4.2.7) を入れて $\mathrm{d} t\to0$ とすると

$$\frac{\mathrm{d} \hat U}{\mathrm{d} t}=-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\hat H\hat U(t),\qquad \hat U(t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$$

を得る。両辺を $| \psi(0) \rangle$ に掛けたものが式 (4.2.4) である。逆に、ユニタリで連続な1径数群は、必ずあるエルミート演算子を生成子として $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ の形に書ける（Stone の定理）。したがって、上の3つの要請を置いた時点で、時間発展は「エルミートな生成子1つ」で決まることになり、残る問いは「その生成子は何か」だけになる。

この形から、量子力学の時間発展そのものは決定論的であることが分かる。時刻 $0$ の状態を決めれば、後の状態は $| \psi(t) \rangle =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}| \psi(0) \rangle$ でただ1つに決まる。

確率が入るのは、状態から測定の結果を引き出すときだけである。観測量の固有値 $a$ が得られる確率は $\lvert \langle a | \psi(t) \rangle \rvert ^2$ で与えられる（Born の規則）。古典の決定論は軌道の一意性の問題だった（第1部第8章）。量子力学では、状態の時間発展と測定の結果が別々の規則で決まっている。

生成子が $\hat H$ である理由

古典力学では、時間発展の生成子は Hamiltonian $H$ で、$\epsilon=\mathrm{d} t$ として $\mathrm{d} A=\delta A=\mathrm{d} t\,\{A,H\}$ と書けた（第1部第11章）。量子の変換では、観測量の変化は $\delta\hat A=\epsilon\left[\hat A,\,\hat G\right]/(\mathrm{i}\hbar)$ である（第1部第9章）。Poisson 括弧を $\left[\cdot,\,\cdot\right]/(\mathrm{i}\hbar)$ に移す規則を時間発展にも当てはめると、時間を $\mathrm{d} t$ ずらす量子の生成子は古典の $H$ を演算子にしたものになる。これが「Schrödinger 方程式の右辺が $\hat H$ である」ことの解析力学からの理由である。4.2.4節で、この選び方をすると期待値が Hamilton 方程式に従うことを確かめる。

ここで生成子の候補に Lagrangian $L$ が入らない理由も読み取ることができる。生成子は「ある時刻の状態」に掛ける演算子なので、ある時刻の観測量 $\hat q,\hat p$ の関数でなければならない。$L(q,\dot q)$ は速度 $\dot q$ の関数で、速度は「ある時刻の値」でなく2つの時刻の差から決まる量である。$L$ をそのまま演算子にする手立てはない。第1部第8章で $L$ から $H$ へ Legendre 変換したことは、量子化の入口で必要になる。$L$ が量子力学で主役に戻るのは、時刻を細かく刻んで経路全体の和を取る経路積分である（第4部第8章）。

$H$ が時刻を含む場合（外から時間で変わる場を加えたとき）も、微分の形 (4.2.4) はそのまま成り立つ。ただし異なる時刻の $\hat H(t)$ は一般に交換しないので、$\hat U(t)$ は指数関数1つでは書けず、短い時間の $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H(t_k)\Delta t/\hbar}$ を時刻の順に掛けた積の極限になる。

エルミート性と確率の保存

$\hat H$ がエルミートであることを、全確率の保存の側から見直す。式 (4.2.4) とその共役 $-\mathrm{i}\hbar\,\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \psi |=\langle \psi |\hat H^\dagger$ から

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \psi | \psi \rangle =\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\langle \psi | (\hat H^\dagger-\hat H) | \psi \rangle\tag{4.2.8}$$

となる。すべての状態で全確率が保たれるための必要十分条件が $\hat H^\dagger=\hat H$ である。

位置表示では、全確率の保存はもっと細かく、各点での確率の出入りの式（連続の式）になる。確率密度 $\rho=\lvert \psi\rvert ^2$ と確率の流れ

$$j(q,t)=\frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}\Bigl(\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial q}\Bigr)\tag{4.2.9}$$

を定めると、式 (4.2.6) とその複素共役から $V$ が実数であることを使って

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial j}{\partial q}=0\tag{4.2.10}$$

が出る（$\psi=u+\mathrm{i} v$ と実部と虚部に分けて代入すると、$V$ の項が打ち消し合うことが確かめられる）。$\psi=R\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$（$R,S$ は実数）と書くと $j=R^2(\partial S/\partial q)/m=\rho\,v$ で、$v=(\partial S/\partial q)/m$ は第1部第13章の運動量の場 $p=\partial S/\partial q$ から決まる速度である。確率密度は、位相 $S$ の勾配で決まる速度 $v$ で運ばれる。この書き方で Schrödinger 方程式を2本の実数の式に分けると、1本が式 (4.2.10)、もう1本が $\hbar^2$ の補正の付いた Hamilton–Jacobi 方程式になることは 第1部第13章で示した。