対称作用素と自己共役作用素

近似の数理　第3章 §3.2　★★★ 「エルミートなら十分」という直観がどこで足りないかを、定義域の言葉で特定する

共役作用素・対称・自己共役

$\mathcal{D}(A)$ が稠密なので $\eta$ は一意に決まる。$A^*$ の定義域は「$A$ と内積をとって部分積分できる相手」の全体であり、$\mathcal{D}(A)$ を狭くするほど条件が緩くなって $\mathcal{D}(A^*)$ は広がる。この逆向きの関係が以下の議論の要である。

物理の「エルミート」は通常「対称」の意味で使われている。対称性は期待値 $\langle \psi,\,A\psi\rangle$ が実数であることを保証するが、それだけでは足りない。対称な $A$ では $\mathcal{D}(A^*)$ が $\mathcal{D}(A)$ より真に広いことがあり、そのとき $A$ には「余分な境界条件の自由度」が残っている。自己共役とは、その自由度を一つに決め切った状態である。

区間上の運動量：境界条件が作用素を決める

$\mathcal{H}= L^2(0,1)$ で $P=-\mathrm{i}\,\mathrm{d}/\mathrm{d} x$ を考える。部分積分で

$$\langle \phi,\,P\psi\rangle -\langle P\phi,\,\psi\rangle =-\mathrm{i}\int_0^1\bigl(\bar\phi\psi'+\bar\phi'\psi\bigr)\,\mathrm{d} x =-\mathrm{i}\bigl[\bar\phi(1)\psi(1)-\bar\phi(0)\psi(0)\bigr]\tag{3.2}$$

となる。右辺の境界項が消えるかどうかが、定義域の選び方で決まる。

• $\mathcal{D}(P_{\min})=\{\psi\in H^1(0,1):\psi(0)=\psi(1)=0\}$ とすると、$P_{\min}$ は対称である。共役 $P_{\min}^*$ は、相手の $\psi$ が両端で消えているので境界項が $\phi$ に条件を課さず、$\mathcal{D}(P_{\min}^*)= H^1(0,1)$（境界条件なし）となる。$\mathcal{D}(P_{\min})\subsetneq\mathcal{D}(P_{\min}^*)$ なので$P_{\min}$ は対称だが自己共役ではない。
• $\theta\in[0,2\pi)$ を一つ選び、$\mathcal{D}(P_\theta)=\{\psi\in H^1(0,1):\psi(1)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\psi(0)\}$ とする。$\phi,\psi$ が同じ条件を満たせば $\bar\phi(1)\psi(1)=\lvert \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\rvert ^2\bar\phi(0)\psi(0)=\bar\phi(0)\psi(0)$で境界項は消える。逆に $\phi\in\mathcal{D}(P_\theta^*)$ なら、$\psi(0)\ne0$ の $\psi\in\mathcal{D}(P_\theta)$ を入れて境界項が消えることから$\phi(1)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\phi(0)$ が従う。よって $P_\theta=P_\theta^*$ は自己共役である。

$P_\theta$ は $\theta$ ごとに別の作用素であり、固有値も違う。$\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}$ が $\mathcal{D}(P_\theta)$ に入る条件は$\mathrm{e}^{\mathrm{i} k}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ なので、

$$\sigma (P_\theta)=\{\theta+2\pi n:\ n\in\mathbb{Z}\}.\tag{3.3}$$

物理的には、$\theta$ は環状の導線を貫く磁束（Aharonov–Bohm 位相）や、周期系の Bloch 波数に当たる。同じ微分記号 $-\mathrm{i}\,\mathrm{d}/\mathrm{d} x$ でも、境界条件という定義域の情報が違えば測定値の集合が違う。一方 $P_{\min}$ のスペクトルは複素平面全体になる（例題 3.1）。これは「対称なのに実スペクトルをもたない」作用素の具体例である。

自己共役性の判定法と、それが要る理由

証明

前半を示す。$A\subset A^*$ なので $\mathcal{D}(A^*)\subset\mathcal{D}(A)$ を言えばよい。$\psi\in\mathcal{D}(A^*)$ をとる。$\operatorname{Ran}(A-\mathrm{i})=\mathcal{H}$ より、$(A-\mathrm{i})\phi=(A^*-\mathrm{i})\psi$ を満たす $\phi\in\mathcal{D}(A)$ がある。$A\subset A^*$ だから$(A^*-\mathrm{i})(\psi-\phi)=0$。任意の $\chi\in\mathcal{D}(A)$ について$\langle (A+\mathrm{i})\chi,\,\psi-\phi\rangle =\langle \chi,\,(A^*-\mathrm{i})(\psi-\phi)\rangle =0$ であり、$\operatorname{Ran}(A+\mathrm{i})=\mathcal{H}$ なので $\psi-\phi$ は $\mathcal{H}$ の全ての元と直交する。よって $\psi=\phi\in\mathcal{D}(A)$。

後半のうちノルムの評価を示す。対称な $A$ と $\psi\in\mathcal{D}(A)$ について、$\langle \psi,\,A\psi\rangle$ が実数であることから交差項が打ち消し合い、

$$\lVert (A-\mathrm{i}\mu)\psi\rVert ^2=\lVert A\psi\rVert ^2+\mu^2\lVert \psi\rVert ^2\tag{3.4}$$

となる。よって $A-\mathrm{i}\mu$ は単射で、逆写像のノルムは $1/\lvert \mu\rvert$ 以下。全射であることは、$\operatorname{Ran}(A-\mathrm{i}\mu)$ が閉じていること（自己共役作用素は閉作用素、すなわち $\psi_n\to\psi$ かつ $A\psi_n\to\eta$ なら $\psi\in\mathcal{D}(A)$, $A\psi=\eta$ を満たし、これと (3.4) から従う）と、その直交補空間が $\operatorname{Ker}(A^*+\mathrm{i}\mu)=\operatorname{Ker}(A+\mathrm{i}\mu)=\{0\}$ であることから従う（$A\psi=-\mathrm{i}\mu\psi$ なら $\langle \psi,\,A\psi\rangle =-\mathrm{i}\mu\lVert \psi\rVert ^2$ が実数なので $\psi=0$）。

$P_{\min}$ で判定法が破れる様子を見ると意味がよく分かる。$\operatorname{Ran}(P_{\min}-\mathrm{i})$ の直交補空間は $\operatorname{Ker}(P_{\min}^*+\mathrm{i})$、すなわち $-\mathrm{i}\phi'=-\mathrm{i}\phi$ の解 $\phi=\mathrm{e}^{x}$ が張る1次元空間である。同様に $\operatorname{Ker}(P_{\min}^*-\mathrm{i})$ は $\mathrm{e}^{-x}$ が張る。この二つの次元 $(1,1)$ を不足指数といい、それが等しいことが自己共役拡大の存在条件、その間のユニタリ写像（ここでは位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ 一つ）が拡大の自由度に当たる（von Neumann の拡大理論）。

自己共役性が必要な理由は、次の二つの定理に集約される。

$-\tfrac12\Delta$ ではフーリエ変換が $U$、$a(\bm{k})=\lvert \bm{k}\rvert ^2/2$ である。一般の自己共役作用素も、適切な「座標変換」で実数値関数の掛け算に直せるというのがこの定理の内容であり、有限次元の「エルミート行列はユニタリ行列で実対角化できる」の無限次元版である。これにより関数 $f(A)$（$f(a)$ を掛ける作用素）が定義でき、特に区間 $\Omega$ の指示関数からスペクトル射影 $P_\Omega(A)=\mathbb{1}_\Omega(A)$、指数関数から $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} tA}$ が作れる。対称だが自己共役でない作用素にはこの定理が成り立たず、$P_{\min}$ のようにスペクトルが実数に収まらないこともある。

自己共役作用素では、判定法の後半を $A-\mathrm{Re}\,\lambda$ に適用して $\sigma (A)\subset\mathbb{R}$ が従い、スペクトル定理の表示では $\sigma (A)$ は関数 $a$ の「本質的な値域」に一致する。固有値は $\sigma (A)$ の一部にすぎず、$-\tfrac12\Delta$ のスペクトル $[0,\infty)$ には固有値が一つも無い（$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{x}}$ は $L^2$ に入らない）。

前半はスペクトル定理から直ちに従う（掛け算作用素 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} ta}$ は絶対値1の関数を掛けるのでユニタリ）。さらに、シュレディンガー方程式の解の一意性もここから出る。$\psi(t)\in\mathcal{D}(H)$ が $\mathrm{i}\dot\psi=H\psi$ を満たすとき、$\chi(t)=U(-t)\psi(t)$ を微分すると $\dot\chi=U(-t)(\mathrm{i} H\psi-\mathrm{i} H\psi)=0$ なので $\chi$ は一定、すなわち $\psi(t)=U(t)\psi(0)$ である。