スペクトルの分類と Weyl の判定法

(1) 変数変換 $x=ny$ で $\lVert n^{-1/2}g(x/n)\rVert =\lVert g\rVert$ なので $\lVert \psi_n\rVert =\lVert \phi\rVert =1$。微分すると$\psi_n''=n^{-1/2}\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}\bigl[\phi''(x/n)/n^2+2\mathrm{i} k\phi'(x/n)/n-k^2\phi(x/n)\bigr]$ なので

$$(A-k^2)\psi_n=-n^{-1/2}\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}\Bigl[\frac{\phi''(x/n)}{n^2}+\frac{2\mathrm{i} k\,\phi'(x/n)}{n}\Bigr].$$

$\phi$ が実数値なので交差項 $2\operatorname{Re}\,\langle \phi''/n^2,\,2\mathrm{i} k\phi'/n\rangle$ は純虚数の実部で0。$\lVert \phi'\rVert ^2=\frac12$、$\lVert \phi''\rVert ^2=\frac34$ を使うと

$$\lVert (A-k^2)\psi_n\rVert ^2=\frac{3}{4n^4}+\frac{2k^2}{n^2}\ \longrightarrow\ 0\qquad(n\to\infty).$$

(2) $\chi$ が有界で台がコンパクト（台の長さ $L$、上限 $C$）なら、$\lvert \psi_n\rvert \le n^{-1/2}\pi^{-1/4}$ より$\lvert \langle \chi,\,\psi_n\rangle \rvert \le CLn^{-1/2}\pi^{-1/4}\to0$。このような $\chi$ は $L^2$ で稠密で $\lVert \psi_n\rVert =1$ なので、全ての $\chi$ で $\langle \chi,\,\psi_n\rangle \to0$。定理 3.19(b) より $k^2\in\sigma_{\mathrm{ess}}(A)$。$k$ は任意の実数なので $[0,\infty)\subset\sigma_{\mathrm{ess}}(A)$。

(3) フーリエ変換で $A$ は $p^2$ の掛け算になる。$\lambda<0$ なら $p^2-\lambda\ge\lvert \lambda\rvert >0$ なので$1/(p^2-\lambda)$ の掛け算が有界な逆作用素を与え、$\lambda\notin\sigma (A)$。よって $\sigma (A)=[0,\infty)$ で、孤立点が無いので全て真性スペクトルである（検算スクリプト）。

(1) $-\frac12\psi''-g\delta\psi=E\psi$ を $[-\varepsilon ,\varepsilon ]$ で積分すると$-\frac12\bigl(\psi'(\varepsilon )-\psi'(-\varepsilon )\bigr)-g\psi(0)=E\int_{-\varepsilon }^{\varepsilon }\psi\to0$。よって $\psi'(0+)-\psi'(0-)=-2g\psi(0)$。$\delta$ 関数は $L^2$ 上の作用素ではないので、この接続条件を定義域に書き込むことで初めて自己共役作用素が定まる。これは $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ 上の $-\frac12\mathrm{d}^2/\mathrm{d} x^2$ の自己共役拡大の一つを選ぶことに当たり、第 3.2 節の「境界条件が作用素を決める」の例である。

(2) $E=-\kappa^2/2$（$\kappa>0$）とすると、$x\ne0$ で $\psi''=\kappa^2\psi$ の $L^2$ 解は $x>0$ で $A\mathrm{e}^{-\kappa x}$、$x<0$ で $B\mathrm{e}^{\kappa x}$。連続性から $A=B$。接続条件は $-\kappa A-\kappa A=-2gA$ なので $\kappa=g$。よって負の固有値はただ一つ

$$E=-\frac{g^2}{2},\qquad\psi(x)=\sqrt{g}\,\mathrm{e}^{-g\lvert x\rvert }$$

（規格化 $\int g\,\mathrm{e}^{-2g\lvert x\rvert }\mathrm{d} x=1$）。$x>0$ と $x<0$ の減衰解はそれぞれ1次元で、連続性と接続条件で係数と $\kappa$ が決まり尽くすので、束縛状態はこの1つだけである。

(3) 原点から遠い所に台をもつ Weyl 列（例題 3.4 の $\psi_n$ を $\pm2n^2$ だけ平行移動したもの）は、接続条件に触れず$-\frac12\mathrm{d}^2/\mathrm{d} x^2$ の Weyl 列として振る舞い、弱収束して0になる。よって $[0,\infty)\subset\sigma_{\mathrm{ess}}(H)$。また $\delta$ ポテンシャルの影響は1次元の空間（$\psi(0)$ という1つの値）にしか及ばないので、$H$ と自由ハミルトニアンのレゾルベントの差は階数1の作用素で、真性スペクトルは変わらない。したがって

$$\sigma (H)=\{-g^2/2\}\cup[0,\infty),\qquad\sigma_{\mathrm{disc}}(H)=\{-g^2/2\},\qquad\sigma_{\mathrm{ess}}(H)=[0,\infty).$$

真性スペクトルの下端 $0$ は「粒子が無限遠へ飛び去り、ポテンシャルから何も受け取らない」状態のエネルギーである。これは次節の HVZ 定理の1粒子版になっている（検算スクリプト）。