min-max 原理

固有値 $\lambda_j$ の正規直交固有ベクトルを $e_j$ とする。

右辺 $\le\lambda_n$：$V=\operatorname{span}\{e_1,\dots,e_n\}$ とすると、$\psi=\sum_{j\le n}c_je_j$（$\sum\lvert c_j\rvert ^2=1$）について$\langle \psi,\,A\psi\rangle =\sum_{j\le n}\lambda_j\lvert c_j\rvert ^2\le\lambda_n$。等号は $\psi=e_n$ で達成されるので、この $V$ での最大値はちょうど $\lambda_n$。

右辺 $\ge\lambda_n$：任意の $n$ 次元部分空間 $V$ と、$(d-n+1)$ 次元の $W=\operatorname{span}\{e_n,\dots,e_d\}$ を考える。$\dim V+\dim W=d+1>d$ なので $V\cap W\ne\{0\}$。その中の単位ベクトル $\psi=\sum_{j\ge n}c_je_j$ について$\langle \psi,\,A\psi\rangle =\sum_{j\ge n}\lambda_j\lvert c_j\rvert ^2\ge\lambda_n$。よって任意の $V$ で $\max_V\ge\lambda_n$。

$\Sigma$ より下の固有値を重複込みで $E_1\le E_2\le\cdots$（個数 $K\le\infty$）、正規直交固有ベクトルを $e_j$ とする。$\Sigma$ より下には離散スペクトルしか無いので、スペクトル定理により $\operatorname{Ran} P_{(-\infty,\lambda)}(A)$ は、$\lambda\le\Sigma$ なら $E_j<\lambda$ を満たす $e_j$ で張られる。

$n\le K$ のとき $\lambda=E_n$、$n>K$ のとき $\lambda=\Sigma$ とおく。

$\mu_n\ge\lambda$：$E_j<\lambda$ を満たす $j$ は高々 $n-1$ 個なので、$\operatorname{Ran} P_{(-\infty,\lambda)}(A)$ は高々 $n-1$ 次元である。任意の $n$ 次元の $V$ はこれと直交する単位ベクトル $\psi$ を含み（有限次元の線形代数）、スペクトル定理から$\psi\in\operatorname{Ran} P_{[\lambda,\infty)}(A)$ について $\langle \psi,\,A\psi\rangle \ge\lambda$。よって $\sup_V\ge\lambda$。

$\mu_n\le\lambda$：$n\le K$ なら $V=\operatorname{span}\{e_1,\dots,e_n\}$ で $\sup_V=E_n$。$n>K$ なら、任意の $\varepsilon >0$ で$\operatorname{Ran} P_{(-\infty,\Sigma+\varepsilon )}(A)$ は無限次元（$\Sigma\in\sigma_{\mathrm{ess}}$）なので、その中から $n$ 次元の $V$（$\mathcal{D}(A)$ の中にとれる）を選べば $\sup_V\le\Sigma+\varepsilon$。

以上で $\mu_n=\lambda$。$n>K$ の場合が (b)、$n\le K$ の場合が (a) である。

有限次元の Courant–Fischer を $V$ 上で使うと $\nu_n=\min_{W\subset V,\dim W=n}\max_W\langle \psi,\,A\psi\rangle$。$V$ の部分空間は $\mathcal{D}(A)$ の部分空間でもあるので、$\mathcal{D}(A)$ 全体での $\inf$ はこれ以下であり $\nu_n\ge\mu_n$。$\nu_n<\Sigma$ なら $\mu_n<\Sigma$ なので定理 3.23 の (b) は起きず (a) が成り立つ。