流体の境界層

近似の数理　第7章 §7.7　★★★ 流体力学最大の特異摂動。Euler と Navier–Stokes の間の「薄い層」を数学で扱う

非粘性極限は特異極限である

非圧縮 Navier–Stokes 方程式を、代表速度 $U$、代表長さ $L$ で無次元化すると

$$\partial_t\bm{u} + (\bm{u}\cdot\nabla)\bm{u} = -\nabla p + \frac1{\mathrm{Re}}\Delta\bm{u},\qquad \nabla\cdot\bm{u} = 0, \qquad \mathrm{Re} = \frac{UL}{\nu}$$

となる（$\nu$ は動粘性係数）。固体壁では滑りなし条件 $\bm{u}=0$（速度の接線成分も法線成分も 0）を課す。$\mathrm{Re}\to\infty$ で粘性項を落とすと Euler 方程式になる。粘性項 $\Delta\bm{u}$ は方程式の最高階（2階）の微分であり、Euler 方程式は1階である。モデル問題と同じく、階数が下がると課せる境界条件が減る。Euler 方程式に課せるのは法線成分の条件 $\bm{u}\cdot\bm{n}=0$（壁を通り抜けない）だけで、接線成分は壁に沿って滑ってよい。したがって Euler の解は滑りなし条件を満たせず、壁の近くに薄い層が必要になる。これが Prandtl（1904）の境界層の考え方である。

Prandtl 方程式のスケーリング導出

2次元の定常流で、壁に沿って $x$、壁に垂直に $y$ をとる。境界層の厚さを $\delta$ とし、層の中の速度と座標を次のように伸長する。

$$y = \delta\,Y,\qquad u = \mathcal{O}(1),\qquad v = \delta\,V .$$

$v$ を $\delta$ 倍にとるのは連続の式 $u_x+v_y=0$ で $u_x\sim1$ と $v_y = V_Y$ を釣り合わせるためである。$x$ 方向の運動方程式の各項の大きさは

$$\underbrace{uu_x}_{1}+\underbrace{vu_y}_{\delta V\cdot u_Y/\delta\,=\,1} = -\underbrace{p_x}_{1}+\underbrace{\frac{1}{\mathrm{Re}}u_{xx}}_{\mathrm{Re}^{-1}} +\underbrace{\frac1{\mathrm{Re}}u_{yy}}_{(\mathrm{Re}\,\delta^2)^{-1}}$$

である。層の中で粘性が慣性と釣り合わなければ壁で速度を 0 に落とせない（落とせなければ層の意味がない）ので、主要釣り合いは$\mathrm{Re}\,\delta^2 = 1$、すなわち

$$\delta = \mathrm{Re}^{-1/2}$$

である。有次元に戻すと $\delta\sim\sqrt{\nu L/U}$ で、粘性による運動量の拡散距離 $\sqrt{\nu t}$ に、流体が長さ $L$ を通過する時間 $t=L/U$ を入れたものになっている。$y$ 方向の運動方程式では

$$\underbrace{uv_x+vv_y}_{\delta} = -\underbrace{p_y}_{\delta^{-1}p_Y} + \underbrace{\frac1{\mathrm{Re}}\Delta v}_{\delta}$$

となり、$\delta$ を掛けると $p_Y = \mathcal{O}(\delta^2)$ を得る。つまり圧力は層を横切って変わらず、層の外の Euler 流の壁面での値$p_e(x)$ で決まる。Euler 流の壁面での速度を $U_e(x)$ とすると Bernoulli の定理から $-p_e' = U_eU_e'$ である。まとめると

$$uu_x + Vu_Y = U_eU_e' + u_{YY},\qquad u_x+V_Y=0,\qquad u=V=0\ (Y=0),\quad u\to U_e(x)\ (Y\to\infty)\tag{7.12}$$

が Prandtl の境界層方程式である。最後の条件 $u\to U_e$ が、内部解（境界層）と外部解（Euler 流）の接合条件に当たる。

Prandtl 方程式は Navier–Stokes から型が変わっている。$u_{xx}$ が落ちたため、$x$ 方向には2階微分がなく、方程式は$x$ を「時間」とする放物型（熱方程式の仲間）になる。上流の速度分布を与えれば下流へ解き進められるという利点があり、同時に、$x$ 方向に情報が逆流する状況（後述の剥離）を表現できないという限界も、この型の変化から来ている。

Blasius の相似解

一様流 $U_e=U$ の中に置いた平板（前縁 $x=0$）では $U_e'=0$ で、長さの尺度 $L$ が問題から消える。そのため解は$x$ と $y$ の特定の組み合わせだけに依存する相似解になる（例題で導出する）。

$$\eta = y\sqrt{\frac{U}{\nu x}},\qquad \psi = \sqrt{\nu Ux}\,f(\eta),\qquad u=\psi_y = Uf'(\eta)$$

とおくと、Prandtl 方程式は Blasius 方程式

$$f''' + \frac12ff'' = 0,\qquad f(0)=f'(0)=0,\quad f'(\infty)=1\tag{7.13}$$

になる。$f''(0)$ を未知数とする射撃法で数値的に解くと

$$f''(0) = 0.33206$$

を得る（検算スクリプト）。速度が $0.99U$ に達する高さは $\eta\approx4.91$ なので、境界層の厚さは

$$\delta_{99}(x)\approx4.91\,\frac{x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}},\qquad \mathrm{Re}_x = \frac{Ux}{\nu}$$

であり、前縁からの距離の平方根で厚くなる。壁の摩擦応力 $\tau_w = \mu u_y(0) = \mu U f''(0)\sqrt{U/(\nu x)}$ から局所摩擦係数$C_f = 2\tau_w/(\rho U^2) = 0.664/\sqrt{\mathrm{Re}_x}$ も得られる。これらは層流の平板境界層の実験とよく合う。

剥離と Prandtl 方程式の破綻

外部流が下流で減速する（$U_e'<0$、圧力が下流で上がる逆圧力勾配）と、層の底の遅い流体は圧力に押し戻される。壁の摩擦 $u_Y(x,0)$ が減少して 0 になる点の先では、壁近くの流れが逆向きになり、境界層は壁から離れる（剥離）。定常の Prandtl 方程式では、剥離点に近づくと解が特異性をもつことが Goldstein によって示されており（Goldstein の特異性）、壁に垂直な速度 $V$ が発散して「層は薄い」という前提そのものが崩れる。剥離の後ろでは逆流域・渦が生じ、外部流もEuler の付着流とは別物になるので、外部解・内部解の分担が成り立たない。物理的には、翼の失速や円柱の後流がこれに当たる。

非定常の Prandtl 方程式については、数学的にさらに強い困難が知られている。

• 初期の速度分布が壁から離れるにつれて単調に増える（$u_Y>0$）場合には、Oleinik の仕事以来、局所的な解の存在と一意性が知られている。
• 初期値が解析関数の場合には、Sammartino と Caflisch が短時間の解の存在と、Navier–Stokes の解が Euler＋Prandtl 層で近似されることを示した。
• 一般の（単調でない）滑らかな初期値については、Gérard-Varet と Dormy（2010）が、線形化した Prandtl 方程式が Sobolev 空間（関数とその導関数の2乗積分で滑らかさを測る関数空間）で非適切（ill-posed）であることを示した。$x$ 方向の波数 $k$ の摂動が$\mathrm{e}^{c\sqrt k\,t}$ の速さで増大し、波数が高いほど速く増えるので、初期値をわずかに変えただけで解が任意に大きく変わりうる。

適切性（well-posedness）とは、解が存在し、一意で、初期値に連続的に依存することをいう（第2章参照）。Prandtl 方程式が一般の初期値で非適切であることは、「境界層方程式を解けば境界層が分かる」という物理の手順が、単調な速度分布という条件の外では数学的に意味を持たないことを示している。

非粘性極限は未解決である

では、Prandtl の層を経由せずに、Navier–Stokes の解 $\bm{u}^\nu$ が $\nu\to0$ で Euler の解 $\bm{u}$ に収束するかを直接問えるか。壁のない領域（全空間や周期境界）では、Euler の解が滑らかな時間範囲で収束が知られている。壁があり滑りなし条件を課す場合、一般の滑らかな初期値についての収束は未解決である。この問題について加藤敏夫（1984）は次の判定条件を与えた。

左辺は、境界から距離 $c\nu$ という Prandtl 層（厚さ $\sqrt\nu$）よりはるかに薄い層での粘性によるエネルギー散逸である。加藤の定理は「非粘性極限が成り立つかどうかは、壁にごく近い層でエネルギーが散逸し続けるかどうかだけで決まる」ことを述べている。物理的には、乱流の境界層で壁近くの散逸が $\nu\to0$ でも残る（抵抗が消えない）ことが知られており、その場合は Euler 解への収束が起こらないことと整合する。証明の要点は、Euler の解に境界の近く $c\nu$ の層だけで速度を 0 に落とす補正を加えた関数を作り、これとのエネルギー差を評価することにある（Prandtl 層を使わない点が要所である）。