Stokes 近似と潤滑近似

近似の数理　第7章 §7.8　★★ 低 Reynolds 数側の極限。正則に見えて遠方で特異になる例と、薄い領域の漸近極限

Stokes 近似と遠方での破綻

$\mathrm{Re}\to0$ では慣性項が落ちて Stokes 方程式 $\nabla p = \mu\Delta\bm{u}$、$\nabla\cdot\bm{u}=0$ になる。最高階の項は残るので、物体の近くでは正則な極限に見える。半径 $a$ の球が速さ $U$ で動くときの抵抗 $F=6\pi\mu aU$（Stokes の抵抗則）がこの近似の代表的な結果である。

ところが遠方では事情が変わる。Stokes 解の速度の乱れは $r$ が大きいとき $Ua/r$ のように減衰する（3次元）。その位置での慣性項と粘性項の比を見積もると

$$\frac{\lvert (\bm{u}\cdot\nabla)\bm{u}\rvert }{\lvert \nu\Delta\bm{u}\rvert }\sim\frac{U\cdot Ua/r^2}{\nu\,Ua/r^3} = \frac{Ur}{\nu} = \mathrm{Re}\,\frac{r}{a}$$

（$\mathrm{Re}=Ua/\nu$、ここで一様流 $U$ が乱れを運ぶ項 $U\partial_x$ を慣性項の代表とした）となり、$r\sim a/\mathrm{Re}$ で慣性が粘性と同じ大きさになる。Stokes 近似は物体から $a/\mathrm{Re}$ より遠い領域では成り立たない。小パラメータが方程式の係数でなく「領域の大きさ」の側に現れる形の特異摂動である。

2次元（円柱）ではこの破綻がより深刻になる。2次元の Stokes 方程式の基本解は $\ln r$ のように増大するので、物体の上で $\bm{u}=0$、無限遠で一様流という二つの条件を同時に満たす Stokes 解が存在しない（Stokes のパラドックス）。3次元では主要項は存在するが、次の次数の補正を Stokes 方程式の範囲で求めようとすると、遠方で増大する項が現れて無限遠の条件を満たせない（Whitehead のパラドックス）。どちらも、多重尺度法の永年項と同じく、ある変数（ここでは $r$）の大きい領域で展開が非一様になることの現れである。

解決は接合漸近展開による。遠方では一様流による移流 $U\partial_x\bm{u}$ だけを残した Oseen 方程式$\rho U\partial_x\bm{u} = -\nabla p+\mu\Delta\bm{u}$ を外部方程式とし、物体の近くの Stokes 解を内部解として、二つを中間領域で接合する（Kaplun、Proudman と Pearson の仕事）。この手続きで、3次元の球の抵抗は

$$F = 6\pi\mu aU\Bigl(1+\frac38\mathrm{Re}+\cdots\Bigr)$$

となる（第2項は Oseen の補正）。2次元の円柱では、単位長さあたりの抵抗の主要項が $4\pi\mu U/\ln(1/\mathrm{Re})$ の形になり、$\mathrm{Re}$ の冪ではなく $1/\ln(1/\mathrm{Re})$ の冪で展開される。漸近列として $\varepsilon ^n$ でなく $(\ln\varepsilon )^{-n}$ を使わざるを得ない例であり、定義 7.2 で漸近列を一般の関数列にしておいた理由がここにある。

潤滑近似と Reynolds 方程式

軸受のように、隙間の厚さ $H$ が長さ $L$ に比べて小さい薄い領域の流れを考える。アスペクト比 $\varepsilon = H/L$ を小パラメータとし、下の面 $y=0$ が速さ $U$ で $x$ 方向に動き、上の面 $y=h(x)$ が静止しているとする。座標と速度を

$$x = L\,\tilde x,\quad y = \varepsilon L\,\tilde y,\quad u = U\tilde u,\quad v = \varepsilon U\tilde v,\quad p = \frac{\mu UL}{H^2}\tilde p$$

とスケールする（$v$ の $\varepsilon$ 倍は連続の式から、圧力の尺度は $p_x$ と $\mu u_{yy}$ の釣り合いから決まる）。Navier–Stokes の $x$ 成分は

$$\varepsilon ^2\mathrm{Re}\,(\tilde u\tilde u_{\tilde x}+\tilde v\tilde u_{\tilde y}) = -\tilde p_{\tilde x} + \tilde u_{\tilde y\tilde y} + \varepsilon ^2\tilde u_{\tilde x\tilde x}$$

となり、$y$ 成分からは $\tilde p_{\tilde y} = \mathcal{O}(\varepsilon ^2)$ が出る。修正 Reynolds 数 $\varepsilon ^2\mathrm{Re}$ が小さければ、主要項は

$$\mu u_{yy} = p_x(x),\qquad p_y = 0$$

であり、$x$ を固定するごとに $y$ についての2階常微分方程式になる。$u(0)=U$、$u(h)=0$ のもとで

$$u = \frac{p_x}{2\mu}(y^2-yh) + U\Bigl(1-\frac yh\Bigr),\qquad q = \int_0^hu\,\mathrm{d} y = -\frac{h^3}{12\mu}p_x + \frac{Uh}2$$

を得る（検算スクリプト）。定常流では連続の式から流量 $q$ が $x$ によらないので、$q$ の式を $x$ で微分して

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\Bigl(h^3\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}\Bigr) = 6\mu U\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} x}\tag{7.14}$$

が得られる。これがReynolds 方程式で、2次元の Navier–Stokes 方程式が、隙間の形 $h(x)$ だけを係数にもつ圧力の1次元の方程式に縮約される。動く面が流体を狭まる隙間へ引きずり込む（$h'<0$ の向きに動く）と圧力が正になって荷重を支える（くさび作用）。たとえば隙間が$2$ から $1$ へ線形に狭まるパッドで両端の圧力を 0 とすると、中央の圧力は $\mu=U=L=1$ の単位で $0.222$ である（検算スクリプト）。

潤滑近似は、薄い方向の変化を速い変数、長い方向の変化を遅い変数とみなし、速い変数については方程式を厳密に解いて（放物線の速度分布）、その平均量（流量）だけを遅い変数の方程式に渡す手続きである。これは平均化や BO と同じ「速い変数を解いて遅い変数の有効方程式を得る」構造で、第9章の均質化とも通じる。$\varepsilon \to0$ で Navier–Stokes の解が Reynolds 方程式の解に収束することは数学的にも示されている。ただし隙間の端（軸受の出入口）や、隙間の形 $h(x)$ が急に変わる場所では、薄い領域の仮定が破れて別の内部層が必要になる。