授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第27章 §27.6　★★ 固体物理の Bloch の定理・強束縛の分散 $-2t\cos ka$・半古典運動の Bloch 振動が、光格子の原子でそのまま成り立つ。違うのはエネルギーの目盛りが12桁小さいことと、乱れと格子の振動が無いこと

Bloch 電子と強束縛

固体物理の授業では、結晶の中の電子の波動関数を $\psi_{n\bm{k}}(\bm{r})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}u_{n\bm{k}}(\bm{r})$ と書き、1次元の強束縛の模型で分散

$$\varepsilon (k)=\varepsilon _0-2t\cos ka$$

を導く（ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第2部第3章）。$t$ は隣の原子の軌道の間の重なりの積分である。光格子の式 (27.7) は同じ形で、電子の波数 $k$ が原子の準運動量 $q$ に、原子の軌道が Wannier 関数に、重なりの積分がトンネル振幅 $t_{\mathrm h}$ に対応する。違いは2つある。固体では周期ポテンシャルは原子核と他の電子が決め、変えられないが、光格子では光の強さで深さを、波長と角度で格子定数を変えることができる。固体の電子は Fermi 粒子で互いに Coulomb 力で強く相互作用するが、${}^{87}\mathrm{Rb}$ は Bose 粒子で同じ井戸の中でだけ $U$ で相互作用する（Fermi 粒子の ${}^{6}\mathrm{Li}$・${}^{40}\mathrm K$ を入れれば Fermi–Hubbard 模型になる）。

Bloch 振動

固体物理の半古典運動では、一様な電場 $E$ の中の電子の結晶運動量は $\hbar\dot k=-eE$ で一定の速さで変わる（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第10章）。$k$ が Brillouin ゾーンを横切って端から反対の端へ戻るたびに、群速度 $\frac1\hbar\frac{\partial \varepsilon }{\partial k}$ は符号を変え、電子は実空間で往復する。ゾーンの幅 $2\pi/a$ を横切る時間

$$T_{\mathrm B}=\frac{2\pi\hbar}{eEa}=\frac{h}{eEa}\tag{27.19}$$

を Bloch 振動の周期と呼ぶ。固体では、電子が格子の振動や不純物で散乱される時間がこれより桁違いに短く、Bloch 振動は普通の結晶では見えない。光格子の原子に一定の力 $F$（重力 $mg$ や、格子を一定の加速度で動かした慣性力）を掛けると、$\hbar\dot q=F$ で同じ運動が起こり、周期は $h/(Fa)$ である。原子は散乱されないので、振動が何周期も続く。Ben Dahan たちは、格子を一定の加速度で動かして Cs 原子の Bloch 振動を観測した（M. Ben Dahan, E. Peik, J. Reichel, Y. Castin, C. Salomon (1996)、Phys. Rev. Lett. 76, 4508）。