何を近似したか・何の実験の量で確かめるか

光学と量子エレクトロニクス　第27章 §27.5　★★ 最低バンドへの射影、深い格子の強束縛と調和近似の Wannier 関数、完全な遮断の3つ。測る量は格子を切った後の干渉の山・井戸ごとの蛍光の像・Lamb–Dicke 因子で決まる側帯の分光

近似

Bose–Hubbard 模型 (27.9) は、多体の Hamiltonian を最低バンドの Wannier 関数の張る空間に射影したものである。射影で落としたのは、上のバンドへ原子を持ち上げる過程で、相互作用 $U$ がバンドの隙間（深い格子で $\hbar\omega$ の程度）より十分小さいことが条件になる。27.2 の例題の $s=10$ では、$U=0.28E_{\mathrm R}$ に対し $q=0$ の隙間は $5.65E_{\mathrm R}$ で、比は $0.05$ である。原子が1井戸に3個以上入る場合や、Feshbach 共鳴で $a_s$ を大きくした場合はこの比が大きくなり、上のバンドを含めた模型が要る。

射影した後、隣どうしより遠いトンネルと、異なる井戸にまたがる相互作用の積分を落とし、$U$ の計算で Wannier 関数を調和振動子の基底状態に置き換えた。どれも、格子が深いほど井戸の間の重なりが $\mathrm{e}^{-2\sqrt s}$ の程度で小さくなることに頼る極限である。$U$ の調和近似は、正弦波の井戸が底から離れるほど広がることを無視するので、$U$ を少し大きめに見積もる。

CZ ゲートの計算は、Rydberg 状態を1つだけ残し、2個の原子の相互作用を $V| rr \rangle \langle rr |$ だけにした模型で、完全な遮断 $V\to\infty$ の極限からのずれを式 (27.16) で求めた。近くの別の Rydberg 状態の対へ移る過程（Förster 共鳴）や、原子の位置の揺らぎによる $V$ の揺らぎは含めていない。

測る量

超流動と Mott 絶縁体は、格子とトラップを切って原子を十数ミリ秒自由に広げ、吸収の像を撮って区別する。広がった後の位置は原子の初めの運動量に比例するので、像は運動量の分布である。超流動では運動量 $2\hbar k$ の整数倍の所に鋭い干渉の山が並び、Mott 絶縁体では山が消えて Wannier 関数の Fourier 変換の広い分布だけが残る。Greiner たちの観測はこの像による。

井戸1つ1つの原子を直接見るには、開口数の大きな対物レンズで格子の中の原子の蛍光を撮る（量子気体顕微鏡。W. S. Bakr ほか (2009)、Nature 462, 74。J. F. Sherson ほか (2010)、Nature 467, 68）。撮像の光は光で誘起された衝突を起こすので、2個入った井戸は空に見え、像は各井戸の原子の数の偶奇を写す。Mott 絶縁体の中では、井戸ごとの数が1にそろって見える。ピンセットの列でも同じく蛍光で1個ずつを見分け、並べ替えの前後の像を比べる。

格子やピンセットの井戸の中の原子の振動の量子数は、光で原子を励起したときの吸収の側帯で読む。光子1個の反跳が振動の量子数をどれだけ変えるかは、Lamb–Dicke 因子

$$\eta=k_{\mathrm p}x_{\mathrm{zp}},\qquad x_{\mathrm{zp}}=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\tag{27.18}$$

で決まる（$k_{\mathrm p}$ は当てる光の波数、$x_{\mathrm{zp}}$ は零点振動の広がり）。$\eta\ll1$ なら、光子を吸収しても振動の量子数はほとんど変わらず、反跳の運動量は振動を励起せずに格子全体へ移る。$\eta^2$ は、反跳エネルギーと振動の量子 $\hbar\omega$ の比である。