この章のまとめ

(1) 格子の深さは強度に、強度はパワーに比例するので、$s=19.5\times30/50=11.7$、$V_0/ k_{\mathrm B}=11.7\times97.3\,\mathrm{nK}=1.14\,\mu\mathrm K$ である。

(2) 中心方程式の対角化で $t_{\mathrm h}=0.0131E_{\mathrm R}$、式 (27.10) で $U=\sqrt{8/\pi}\times0.0312\times11.7^{3/4}E_{\mathrm R}=0.315E_{\mathrm R}$ である。Hz では $t_{\mathrm h}/h=26.6\,\mathrm{Hz}$、$U/h=639\,\mathrm{Hz}$ になる。$U/t_{\mathrm h}=24.0$ は臨界値 $29.34$ より小さいので、超流動である。干渉の山が見える。

(3) $s=19.5\times40/50=15.6$ で、$t_{\mathrm h}=0.00579E_{\mathrm R}$、$U=0.391E_{\mathrm R}$、$U/t_{\mathrm h}=67.6$ である。臨界値の2倍以上で、Mott 絶縁体である。$\hbar\omega=2\sqrt{15.6}E_{\mathrm R}=7.90E_{\mathrm R}$（$16.0\,\mathrm{kHz}$）で、$U/(\hbar\omega)=0.0495$ である。$q=0$ の第0と第1のバンドの隙間は対角化で $6.93E_{\mathrm R}$ で、$U$ はその $0.056$ 倍である。1井戸1個の Mott 絶縁体の低いエネルギーの励起（1個の原子が隣へ移って2個の井戸ができる）は $U$ の程度で、隙間よりずっと小さいので、上のバンドへの持ち上げは無視でき、最低バンドの模型を使うことができる。$30\,\mathrm{mW}$ から $40\,\mathrm{mW}$ へパワーを $1.33$ 倍にするだけで $U/t_{\mathrm h}$ が $2.8$ 倍になるのは、$t_{\mathrm h}$ の $\mathrm{e}^{-2\sqrt s}$ の依存のためである。

(4) 式 (27.12) を $N\ge50$ で足すと $0.973$ である。27.5 の例題の $M=125$ より5個少ないだけで、成功の確率は $99\%$ から $97\%$ に下がる。

(5) $V/h=500\times10^{3}/5^6\,\mathrm{MHz}=32.0\,\mathrm{MHz}$ で、$V/(\hbar\Omega)=16.0$ である。遮断の誤りは $0.370/16.0^2=1.45\times10^{-3}$ である（このとき漏れの項は $\frac14\sin^2(\pi\sqrt{257})/256=9.4\times10^{-6}$ で無視できる）。崩壊の誤りは $7\pi/(4\Omega\tau)=7/(8\times2\times10^6\times10^{-4})=4.38\times10^{-3}$ で、合計 $5.82\times10^{-3}$ である。合計を $\varepsilon (\Omega)=A\Omega^2+B/\Omega$（$A=0.370\hbar^2/V^2$、$B=7\pi/(4\tau)$）と書き、$\frac{\mathrm{d} \varepsilon }{\mathrm{d} \Omega}=2A\Omega-B/\Omega^2=0$ から $\Omega^3=B/(2A)$ である。数値を入れると $\Omega/2\pi=2.30\,\mathrm{MHz}$、そのときの合計は $5.72\times10^{-3}$ である。最適点では $B/\Omega=2A\Omega^2$ なので、崩壊の誤り $B/\Omega$ は遮断の誤り $A\Omega^2$ のちょうど2倍で、$3.81\times10^{-3}$ 対 $1.91\times10^{-3}$ である。誤りを $10^{-3}$ より下げるには、原子を近づけて $V$ を上げるより、寿命の長い Rydberg 状態を使うか、極低温の環境で黒体放射による崩壊を減らして $\tau$ を伸ばすほうが近道である。