この章のまとめ

(1)（第9章 §1）$\langle \cos2\pi y \rangle =0$ なので $\langle a \rangle =1$。$\theta=2\pi y$ と置き換えると

$$\langle 1/a \rangle =\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}\theta}{1+\delta\cos\theta}=\frac{1}{\sqrt{1-\delta^2}},\qquad a^*=\sqrt{1-\delta^2}.$$

$a^*<1=\langle a \rangle$ で、Cauchy–Schwarz による不等式と整合する。

(2)（第9章 §2、第4章）$\varphi'=c\cos2\pi y$ で、1次元では $\xi=1$ として

$$E(c)=\bigl\langle(1+c\cos2\pi y)^2(1+\delta\cos2\pi y)\bigr\rangle .$$

$\langle \cos \rangle =\langle \cos^3 \rangle =0$、$\langle \cos^2 \rangle =1/2$ を使って展開すると

$$E(c)=1+\frac{c^2}{2}+c\delta .$$

$c$ について最小化すると $c=-\delta$ で、$E(-\delta)=1-\delta^2/2$。よって

$$a^*=\sqrt{1-\delta^2}\ \le\ 1-\frac{\delta^2}{2}\ \le\ 1=\langle a \rangle .$$

試行関数 $\varphi=0$ が Voigt の上界であり、1項の試行関数を足すだけで上界が改良された。$a^*=1-\delta^2/2-\delta^4/8-\cdots$ なので、上界は $\delta^2$ の項まで一致し、ずれは $\delta^4/8$ から始まる。1次元では Reuss の下界 $\langle 1/a \rangle ^{-1}$ が $a^*$ そのものなので、上下界で挟むと $\sqrt{1-\delta^2}\le a^*\le1-\delta^2/2$ となる。

(3)（第9章 §2 の命題の証明、第4章）命題 9.6 の証明で、試行関数を $\varphi=\chi+\psi$（$\chi$ はセル問題の解）と書くと、中央の項がセル問題により消えて

$$E(\varphi)-a^*=\bigl\langle a\,(\psi')^2\bigr\rangle=\bigl\langle a\,(\varphi'-\chi')^2\bigr\rangle$$

となった。上界の誤差は、試行関数の勾配の誤差の $a$ で重みをつけた 2 乗平均そのものである。

セル問題の解は (9.7) より $\chi'=a^*/a-1=\frac{\sqrt{1-\delta^2}}{1+\delta\cos2\pi y}-1=-\delta\cos2\pi y+\mathcal{O}(\delta^2)$ で、試行関数 $\varphi'=-\delta\cos2\pi y$ はこの1次の項を正確にとらえている。勾配の誤差 $\varphi'-\chi'$ は $\mathcal{O}(\delta^2)$ で、上の式によりエネルギーの誤差はその 2 乗の $\mathcal{O}(\delta^4)$ になる。これは第4章で見た「エネルギーの誤差は波動関数の誤差の2乗」と同じ構造で、最小化の問題では停留点のまわりで 1 次の変化が消えることから来る。

$\delta=0.6$ では $a^*=\sqrt{0.64}=0.8$、上界は $1-0.18=0.82$、差は $0.02$ である。右辺を数値積分しても $\langle a(\varphi'-\chi')^2 \rangle =0.0200$ が得られ、$\delta^4/8=0.0162$ に高次の項 $\delta^6/16+\cdots$ が足された値になっている（検算スクリプト）。

(4)（第9章 §1、第2章）$b=1/a$ とおく。(9.5) により$\lVert u_{\varepsilon }'-u_0'\rVert ^2\to\langle (b-\langle b \rangle )^2 \rangle \int_0^1\sigma_0^2\mathrm{d} x$ で、$f\equiv1$ では $\sigma_0=1/2-x$、$\int_0^1\sigma_0^2=1/12$ である。$\langle b^2 \rangle$ は与えられた積分を $s$ で微分して求める。

$$\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}\theta}{(s+\delta\cos\theta)^2}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s}\frac{2\pi}{\sqrt{s^2-\delta^2}}=\frac{2\pi s}{(s^2-\delta^2)^{3/2}}$$

で $s=1$ とおき、$\langle b^2 \rangle =(1-\delta^2)^{-3/2}$。$\delta=0.6$ では

$$\langle b^2 \rangle -\langle b \rangle ^2=\frac{1}{0.512}-\frac{1}{0.64}=1.953125-1.5625=0.390625,$$

$$\lVert u_{\varepsilon }'-u_0'\rVert \ \longrightarrow\ \sqrt{0.390625/12}\approx0.180 .$$

$u_{\varepsilon }\to u_0$ は一様収束でも、勾配は $u_0'$ のまわりで振動し続け、その振れ幅は $\varepsilon$ によらない。勾配は第2章の意味で弱収束しかしない。

(5)（第1章、第9章 §8）$\varepsilon \to0$ で微細構造を有効係数 $a^*$ に置き換える段階は B 型（極限）で、周期性とスケール分離 $\varepsilon \to0$ が極限を閉じさせ、その結果は (1) と (4) のように「どの量がどの意味で収束するか」まで定理として確定した。(2) で有効係数を1項の試行関数で見積もった段階は A 型（射影）で、セル問題の解の空間を $\sin2\pi y$ の張る部分空間に射影している。A 型であるから、(3) のように誤差が試行関数の近似の良さで評価され、項を増やせば $a^*$ に収束する。この問題には C 型の段階が無く、どの段階の誤差も原理から評価できる。乱流モデルや交換相関汎関数との違いは、この点にある。