三つの型の中で C 型が残る理由

(1) $U=\mathrm{Re}\,\nu/D=1.0\times10^5\times1.5\times10^{-5}/0.10=15\,\mathrm{m/s}$。$\mathrm{Kn}=6.8\times10^{-8}/0.10=6.8\times10^{-7}$。流体方程式への移行で消すのは分子の速度分布の非平衡部分で、それが緩和する長さは平均自由行程 $\lambda$、残す密度・流速・温度が変わる長さは $D$ である。比 $\mathrm{Kn}$ が $10^{-6}$ 程度と非常に小さいので、Chapman–Enskog 展開は $\mathrm{Kn}$ の冪で整理でき、Navier–Stokes 方程式は B 型の近似として閉じている。

(2) $\eta\sim0.10\times(10^5)^{-3/4}\approx0.10\times1.78\times10^{-4}\approx1.8\times10^{-5}\,\mathrm{m}$、$\eta/D\approx1.8\times10^{-4}$（検算スクリプト）。$\eta$ は粘性で散逸する最も小さい渦の大きさである。Reynolds 平均で消すのは揺らぎ $u_i'$ のすべてで、その中には $\eta$ 程度の小さい渦だけでなく、$D$ に近い大きさの渦まで含まれる。Reynolds 応力 $R_{ij}$ を主に担うのはエネルギーを多くもつ大きい渦の方なので、消す自由度の大きさは $\eta$ でなく大きい渦の大きさで測らなければならない。$\eta/D$ が小さいことは、散逸の起きる尺度が分離していることを意味するだけで、平均流の方程式を閉じさせる比にはならない。

(3) 比は $\ell_m/y=\kappa\approx0.41$ である。これは $y$ にも $\mathrm{Re}$ にもよらない定数で、$\mathrm{Re}\to\infty$ でも $0$ にならない。均質化の $\varepsilon /L$ や流体力学極限の $\mathrm{Kn}$ は、消す自由度が残す自由度に比べて限りなく細かくなる極限をとれたが、壁乱流の Reynolds 応力では、消す渦と平均流の変化がどこでも同じ尺度にある。展開のパラメータになる小さい比が無く、本節の (i) の場合に当たる。混合距離モデルや渦粘性モデルが定理でなく C 型の閉じ方にとどまるのは、このためである。