この章のまとめ

(1) $\mathrm{Re}_x = Ux/\nu = 10\cdot1/(1.5\times10^{-5}) = 6.7\times10^5$、$\delta_{99} = 4.91/\sqrt{6.7\times10^5}\ \mathrm{m} = 6.0\ \mathrm{mm}$ である（検算スクリプト）。層の厚さと長さの比 $6\times10^{-3}$ は $\mathrm{Re}_x^{-1/2}$ の程度で、Prandtl のスケーリングの小さいパラメータである。この Reynolds 数は層流から乱流へ移る目安（$5\times10^5$ 程度）を越えているので、実際の平板ではこの位置で乱流境界層になっている可能性が高く、Blasius 解の値は層流を保った場合の見積もりである。

(2) $\theta''+\theta-\tfrac16\theta^3=0$ は Duffing 振動子で $\varepsilon =-\tfrac16$ としたものなので、$\omega = 1+\tfrac38\varepsilon a^2 = 1-a^2/16$ である。$a=\pi/6=0.5236$ で $\omega = 0.98287$、周期の比は $1/\omega = 1.01743$ で、厳密値 $1.01741$ との差は $2\times10^{-5}$ である。振幅を倍にすると伸びは約4倍になる。軟らかいばね（$\varepsilon <0$）なので振動数が下がり、大きく振るほど周期が長くなる。

(3) $\mathrm{Re} = Ua/\nu = 10^{-6}\cdot10^{-6}/10^{-6} = 10^{-6}$、$a/\mathrm{Re} = 1\ \mathrm{m}$ である。粒子の大きさの $10^6$ 倍離れた所までStokes 近似が成り立つので、微生物や微粒子の運動では Stokes 方程式で十分である。小さいパラメータは同じ $\mathrm{Re}$ でも、それが「方程式の係数」でなく「近似の成り立つ領域の広さ」として現れている点が、境界層の (1) と違う。

(1) $\varepsilon =0$ では第1式が $u=v$ という代数的な拘束になり、微分方程式は $v'=-v$ の1本だけになる。課せる初期条件は1つに減り、$u(0)=0$ と $v(0)=1$ を同時には満たせない。最高階（ここでは $u$ の時間微分）に小さい係数が掛かっていて型が変わるので特異摂動であり、$\varepsilon \to0$ の極限をとる近似なので第1章の分類では B 型（極限）である。

(2) 係数行列は $A=\begin{pmatrix}-1/\varepsilon & 1/\varepsilon \\ -1 & 0\end{pmatrix}$ で、固有方程式は $\varepsilon \lambda^2+\lambda+1=0$ である。根は(7.2) と同じ $\lambda_1=-1-\varepsilon +\mathcal{O}(\varepsilon ^2)$、$\lambda_2 = -1/\varepsilon +1+\mathcal{O}(\varepsilon )$ で、どちらも負なので原点は安定な結節点である。固有ベクトルは第1式から $v=(1+\varepsilon \lambda)u$ を満たし、$\lambda_1$ に対して $(1,\,1-\varepsilon )$、$\lambda_2$ に対して $(1,\,\varepsilon )$ となる。遅い方向はほぼ対角線 $u=v$（遅い多様体）、速い方向はほぼ $u$ 軸に平行である。初期点 $(0,1)$ から出た軌道は、まず時間 $\mathcal{O}(\varepsilon )$ でほぼ水平に動いて対角線の近く $(1,1)$ に達し、その後は対角線に沿って時間 $\mathcal{O}(1)$ で原点へ向かう。

(3) 外部では $u=v$、$v'=-v$ から $v=C\mathrm{e}^{-t}$、$u=C\mathrm{e}^{-t}$ である。内部では $U(\tau)=u(\varepsilon \tau)$、$V(\tau)=v(\varepsilon \tau)$ として$\mathrm{d} U/\mathrm{d}\tau = -U+V$、$\mathrm{d} V/\mathrm{d}\tau = -\varepsilon U$ となり、主要項は $V_0=1$、$U_0 = 1-\mathrm{e}^{-\tau}$ である。接合は$\lim_{\tau\to\infty}V_0 = \lim_{t\to0}v$ から $C=1$ で、このとき $\lim_{\tau\to\infty}U_0 = 1 = \lim_{t\to0}u$ も自動的に成り立つ。合成解は外部解＋内部解−共通部分 1 で

$$u_c = \mathrm{e}^{-t} - \mathrm{e}^{-t/\varepsilon },\qquad v_c = \mathrm{e}^{-t}.$$

(4) 第2式から $u=-v'$、これを第1式に代入すると $-\varepsilon v'' = v'+v$、すなわち $\varepsilon v''+v'+v=0$ で、初期条件は $v(0)=1$、$v'(0)=-u(0)=0$ である。方程式はモデル問題と同じで、条件が境界値でなく初期値になっている。$q=\sqrt{1-4\varepsilon }$ として

$$v = \frac{\lambda_2\mathrm{e}^{\lambda_1t}-\lambda_1\mathrm{e}^{\lambda_2t}}{\lambda_2-\lambda_1},\qquad u = -v' = \frac{\mathrm{e}^{\lambda_1t}-\mathrm{e}^{\lambda_2t}}{q}$$

である（$\lambda_1\lambda_2=1/\varepsilon$、$\lambda_2-\lambda_1=-q/\varepsilon$ を使った）。$1/q = 1+2\varepsilon +\mathcal{O}(\varepsilon ^2)$、$\mathrm{e}^{\lambda_1t} = \mathrm{e}^{-t}(1-\varepsilon t+\cdots)$ なので、層の外では

$$u-u_c = \varepsilon \,\mathrm{e}^{-t}(2-t)+\mathcal{O}(\varepsilon ^2),\qquad v-v_c = \varepsilon \,\mathrm{e}^{-t}(1-t)+\mathcal{O}(\varepsilon ^2)$$

となる。$\mathrm{e}^{-t}(2-t)$ と $\mathrm{e}^{-t}(1-t)$ は $t\ge0$ で $t=0$ に最大値 2 と 1 をとる。$t=0$ では厳密解も合成解も初期条件を満たすので差は 0 で、差が最大になるのは層の外縁であり、定理 7.3 と同じ理由で

$$\sup_{t\ge0}\lvert u-u_c\rvert /\varepsilon \to2,\qquad \sup_{t\ge0}\lvert v-v_c\rvert /\varepsilon \to1$$

となる。数値では $\varepsilon =0.01$ で $1.87$ と $0.93$、$\varepsilon =0.001$ で $1.98$ と $0.99$ である（検算スクリプト）。

(5) 小パラメータは $\varepsilon$（$u'$ の係数）、外部は遅い多様体 $u=v$ の上の運動 $v'=-v$、内部は幅 $\varepsilon$ の初期層での緩和$\mathrm{d} U/\mathrm{d}\tau = -U+1$、破綻する場所は $t\ge0$ の範囲には無い。$\varepsilon u'=u-v$ と符号を逆にすると、内部方程式は $\mathrm{d} U/\mathrm{d}\tau = U-1$ で、初期層の解 $1-\mathrm{e}^{\tau}$ は層の外へ向かって増大し、外部解に接合できない。遅い多様体は軌道を引き寄せずに突き放し、解は時間 $\mathcal{O}(\varepsilon )$ で$\mathrm{e}^{t/\varepsilon }$ のように大きくなる。これは境界層を下流端でなく上流端に置こうとしたときと同じ状況であり、特異摂動の手順が使えるのは、速い変数が遅い多様体へ緩和する（内部解が層の外へ減衰する）場合に限られる。