何の実験の量で確かめるか・授業で習った形との対応

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第5部 第2章 §5.2.6　★★ Curie 則の傾きで $p_{\mathrm{eff}}$ を、2量体の磁化率の山の温度で $J$ を、中性子の非弾性散乱で1重項と3重項の差を、弱い自発磁化で DM 相互作用を確かめる。授業の $-2J$ の流儀・結合の数え方・スピンだけの公式と、この章の式を並べる

磁化率で確かめる

5.2.3節の Hund 則は、常磁性の塩の磁化率 $\chi_{\mathrm m}$ を温度の逆数に対してプロットした傾き、すなわち Curie 定数で確かめる。式 (5.2.13) から Curie 定数 $\chi_{\mathrm m}T$ はイオンの数密度 $n$ と $p_{\mathrm{eff}}^2$ に比例するので、$n$ を化学式から求めれば $p_{\mathrm{eff}}$ が読める。表 5.2.1 の2つの列のどちらに近いかが、軌道角運動量が残っているかどうかの判定になる。

交換相互作用 $J$ を直接に測る最も簡単な対象は、2つの磁性イオンが組になった分子や結晶（2量体）である。2量体の Hamiltonian $J\hat{\bm{S}}_1\cdot\hat{\bm{S}}_2+g\mu_{\mathrm B}B(\hat S_{1z}+\hat S_{2z})$ の準位は、1重項 $-\frac{3J}{4}$ と3重項 $\frac J4+g\mu_{\mathrm B}Bm$（$m=0,\pm1$）で、磁場の1次の磁化から2量体の数密度 $n_{\mathrm d}$ あたりの磁化率は

$$\chi_{\mathrm m}=\frac{\mu_0n_{\mathrm d}(g\mu_{\mathrm B})^2}{ k_{\mathrm B} T}\cdot\frac{2}{3+\mathrm{e}^{J/ k_{\mathrm B} T}}\tag{5.2.21}$$

になる（Bleaney, Bowers（1952）、Proceedings of the Royal Society A 214、451。酢酸銅の2量体の磁化率をこの形で解析した）。高温 $k_{\mathrm B} T\gg J$ では $\chi_{\mathrm m}\to\mu_0n_{\mathrm d}(g\mu_{\mathrm B})^2/(2 k_{\mathrm B} T)$ で、スピン $\frac12$ が2個ずつ独立にある Curie 則に戻る。低温 $k_{\mathrm B} T\ll J$ では3重項に励起されるイオンが $\mathrm{e}^{-J/ k_{\mathrm B} T}$ で減り、磁化率は 0 に向かう。その間に山があり、山の位置 $k_{\mathrm B} T_{\mathrm{max}}=0.624J$ から $J$ を読むことができる（図 5.2.5）。

図 5.2.5　反強磁性の2量体の磁化率 (5.2.21)（点線）と、高温の Curie 則（実線）。$x= k_{\mathrm B} T/J$。山は $x=0.624$、高さは $0.402$ である。

磁化率は熱平均を通して $J$ を見るので、模型の形を仮定した当てはめになる。中性子の非弾性散乱は、中性子のスピンが試料のスピンをひっくり返すときに失うエネルギーを測り、1重項から3重項への励起のエネルギー $J$ を直接に測ることができる。格子の上では、この励起が波数を持って伝わるスピン波になり、その分散を第5部第3章で計算する。DM 相互作用は、反強磁性の物質で結晶の対称性から決まる向きに現れる小さな自発磁化（弱い強磁性）で確かめ、その大きさの目安は電子スピン共鳴で測る $g$ 因子のずれ $\Delta g$ から得る。電子スピン共鳴はスピンの歳差運動の共鳴で、その運動方程式は解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第5章で扱う。

授業で習った形との対応

磁性の授業や教科書の多くは、交換相互作用を

$$\hat H=-2J_{\mathrm K}\sum_{\langle ij\rangle}\hat{\bm{S}}_i\cdot\hat{\bm{S}}_j\qquad(J_{\mathrm K}>0\ \text{で強磁性})\tag{5.2.22}$$

と書く。この章の $J\sum_{\langle ij\rangle}\hat{\bm{S}}_i\cdot\hat{\bm{S}}_j$ とは $J=-2J_{\mathrm K}$ で対応し、符号の向きも係数も違う。2つのスピンの1重項と3重項の差は、この章では $E_T-E_S=J$、式 (5.2.22) では $E_S-E_T=2J_{\mathrm K}$ である。式 (5.2.9) の直接交換では $J_{\mathrm K}=K_{ab}$ になり、「交換積分 $J_{\mathrm K}$ が正なら強磁性」という授業の言い方は、命題 5.2.2 の交換積分を指している。もう1つの違いは和の取り方で、$\sum_{i\neq j}$（各組を2回数える）と書く教科書では $J$ が半分の値になる。運動交換が $2t^2/U$ と書かれていたら、この数え方の違いを疑う。

Hund 則は授業では「スピンを最大に、次に $L$ を最大に、$J$ は半分を境に $\lvert L-S\rvert$ か $L+S$」という手順として習う。この章では第1の規則を交換積分の正値性（命題 5.2.2）から、第3の規則をスピン軌道相互作用の係数 $\lambda$ の符号（式 (5.2.11)）から出した。磁気モーメントについては、不対電子の数 $N_{\mathrm u}=2S$ を使った「スピンだけの公式」$p_{\mathrm{eff}}=\sqrt{N_{\mathrm u}(N_{\mathrm u}+2)}$ が使われる。これは $2\sqrt{S(S+1)}$ と同じ式で、5.2.5節の軌道角運動量の消失を前提にしている。DM 相互作用は授業でも $\bm{D}_{ij}\cdot(\hat{\bm{S}}_i\times\hat{\bm{S}}_j)$ と書かれ、$\bm{D}_{ij}=-\bm{D}_{ji}$ である（$i$ と $j$ を入れ替えると外積の符号が変わる）。