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この章のまとめ

2026年10月15日10分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第4部 第11章 Berry 曲率と異常速度

AI 生成・木下が未勉強

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第11章 §4.11.7　★★★ 1階の Lagrangian の ω\omega を読むと、Berry 曲率は磁場と同じ形で ω\omega に入り、位置の括弧を 00 からずらす。そのずれが異常速度・量子化した Hall 伝導度・状態の数の補正になる

この章では、第10章の Lagrangian に、Bloch 関数の周期部分が運ぶ Berry 位相の項 ℏk˙⋅An(k)\hbar\dot{\bm{k}}\cdot\bm{A}_n(\bm{k}) を足した1階の Lagrangian (4.11.3) を選んだ。1階の Lagrangian ∑iaix˙i−H\sum_ia_i\dot x_i-H では、aa の回転 ωij\omega_{ij} の逆行列が Poisson 括弧になる（命題 4.11.1）。この道具を当てると、位置の成分どうしの括弧が {x,y}=Ωn/ℏ\{x,y\}=\Omega_n/\hbar となり、波束の中心 r\bm{r} は正準変数でないことが分かる。運動方程式には異常速度 −k˙×Ωn-\dot{\bm{k}}\times\bm{\Omega}_n が付き、それは電場に垂直で仕事をしない。占有された状態について足すと Hall 伝導度σxy=−e2ℏ∫d2k(2π)2f0Ωn\sigma_{xy}=-\frac{e^2}{\hbar}\int\frac{\mathrm{d}^2k}{(2\pi)^2}f_0\Omega_n が出て、バンドが詰まっていれば Brillouin 域が閉じた面であることから σxy=−Cne2/h\sigma_{xy}=-C_ne^2/h と量子化される。電子1つ1つで見ると、Bloch 振動の1周期ごとに平均 CnC_n 格子間隔だけ横にずれることに当たる。磁場と Berry 曲率がそろうと、Liouville の定理で保たれる体積が(1+eℏB⋅Ωn)d3r d3k(1+\frac e\hbar\bm{B}\cdot\bm{\Omega}_n)\mathrm{d}^3r\,\mathrm{d}^3k になり、そこから Středa の式が出る。授業の半古典運動の式は Ωn=0\bm{\Omega}_n=0 の場合で、時間反転と空間反転が両方ある物質ではそれで正しい。

総合問題　2つの谷を持つ Dirac 模型と谷 Hall 効果 ★★★

オリジナル副格子の段差のある六方格子（時間反転対称・空間反転なし）の2次元結晶では、Brillouin 域の2つの角（谷 τ=+1\tau=+1, −1-1）の近くでギャップが最も狭く、そこでの有効 Hamiltonian は

H^τ(q)=ℏv(τqxσx+qyσy)+Mσz(M>0)\hat H_\tau(\bm{q})=\hbar v(\tau q_x\sigma_x+q_y\sigma_y)+M\sigma_z\qquad(M>0)

と書ける（q\bm{q} は谷の中心から測った波数。D. Xiao, W. Yao and Q. Niu (2007), Phys. Rev. Lett. 99, 236809 が谷による Berry 曲率の違いを論じた模型）。g(q)=ℏ2v2q2+M2g(q)=\sqrt{\hbar^2v^2q^2+M^2} とおく。

  1. (1) （使う道具：4.11.1節・第4部第9章の Berry 位相）谷 τ\tau の下のバンドの Berry 曲率が Ωτ,−(q)=τ ℏ2v2M/(2g3)\Omega_{\tau,-}(\bm{q})=\tau\,\hbar^2v^2M/(2g^3) であることを、例題 4.11.1 の結果と、qx→−qxq_x\to-q_x が平面の向きを反転させることから示せ。
  2. (2) （使う道具：4.11.4節・4.11.6節）Fermi 準位がギャップの中にあるとき、谷 τ\tau の下のバンドからの Hall 伝導度 σxy(τ)\sigma_{xy}^{(\tau)} を式 (4.11.15) で求めよ（谷の外の寄与は考えない）。2つの谷の和と差（谷 Hall 伝導度 σxyv≔σxy(+)−σxy(−)\sigma^{\mathrm v}_{xy}\coloneqq\sigma^{(+)}_{xy}-\sigma^{(-)}_{xy}）を求め、和が命題 4.11.3 と合うことを確かめよ。
  3. (3) （使う道具：4.11.3節・第4部第10章の半古典運動）伝導帯の底に電子を少し入れ、xx 方向の電場をかける。谷 τ=±1\tau=\pm1 の電子の異常速度の向きを求め、試料の両端に何がたまるかを述べよ。
  4. (4) （使う道具：4.11.5節）zz 方向の弱い磁場 BB をかけ、化学ポテンシャルをギャップの中に固定する。谷 τ\tau の下のバンドの電子の面密度の変化 (∂nτ/∂B)μ(\partial n_\tau/\partial B)_\mu を求め、2つの谷の和が 00 であることと、(2) の結果が Středa の式を谷ごとに満たすことを確かめよ。
  5. (5) （使う道具：4.11.4節・第3部第8章の平衡分布）絶対零度で、化学ポテンシャル μ\mu が伝導帯の中（μ>M\mu>M、エネルギーはギャップの中央から測る）にあるとき、谷 τ\tau の σxy(τ)\sigma_{xy}^{(\tau)} を求めよ。M=0.1 eVM=0.1\,\mathrm{eV}、μ=0.2 eV\mu=0.2\,\mathrm{eV} のときの ∣σxy(τ)∣\lvert \sigma_{xy}^{(\tau)}\rvert を数値で求めよ。
解答

(1)（4.11.1節・第4部第9章）τ=+1\tau=+1 は例題 4.11.1 の模型そのもので Ω+,−=ℏ2v2M/(2g3)\Omega_{+,-}=\hbar^2v^2M/(2g^3)。τ=−1\tau=-1 は qx→−qxq_x\to-q_x と置き換えたもので、Berry 接続 A\bm{A} は (Ax,Ay)(qx,qy)→(−Ax,Ay)(−qx,qy)(A_x,A_y)(q_x,q_y)\to(-A_x,A_y)(-q_x,q_y) と移り、回転 ∂qxAy−∂qyAx\partial_{q_x}A_y-\partial_{q_y}A_x の符号が反転する。第9章の言葉では、g(q)=(τℏvqx,ℏvqy,M)\bm{g}(\bm{q})=(\tau\hbar vq_x,\hbar vq_y,M) の向き g/g\bm{g}/g が q\bm{q} 平面の小さな円を回るときに掃く立体角の符号が τ\tau で変わり、Berry 位相（== 囲んだ流束）の符号も変わる。よって Ωτ,−=τℏ2v2M/(2g3)\Omega_{\tau,-}=\tau\hbar^2v^2M/(2g^3)。

(2)（4.11.4節・4.11.6節）例題 4.11.1 (3) から ∫Ωτ,−d2q=τπ\int\Omega_{\tau,-}\mathrm{d}^2q=\tau\pi。式 (4.11.15) に入れて

σxy(τ)=−e2ℏ⋅τπ(2π)2=−τe24πℏ=−τe22h.\sigma^{(\tau)}_{xy}=-\frac{e^2}{\hbar}\cdot\frac{\tau\pi}{(2\pi)^2}=-\tau\frac{e^2}{4\pi\hbar}=-\tau\frac{e^2}{2h}.

和は σxy(+)+σxy(−)=0\sigma^{(+)}_{xy}+\sigma^{(-)}_{xy}=0、差は σxyv=−e2/h\sigma^{\mathrm v}_{xy}=-e^2/h。時間反転は谷 τ\tau を谷 −τ-\tau に移し（k→−k\bm{k}\to-\bm{k}）、命題 4.11.3 (1) のΩ(−k)=−Ω(k)\Omega(-\bm{k})=-\Omega(\bm{k}) が谷どうしの曲率の符号の違いとして現れている。全体の Hall 伝導度は 00 で命題と合う。

(3)（4.11.3節・第4部第10章）伝導帯は Ωτ,+=−Ωτ,−\Omega_{\tau,+}=-\Omega_{\tau,-} で、底では Ωτ,+(0)=−τ(ℏv)22M2ez\bm{\Omega}_{\tau,+}(0)=-\tau\frac{(\hbar v)^2}{2M^2}\bm{e}_z。電場 EexE\bm{e}_x のもとで異常速度は eℏEex×Ωτ,+=τeℏE(ℏv)22M2ey\frac e\hbar E\bm{e}_x\times\bm{\Omega}_{\tau,+}=\tau\frac e\hbar E\frac{(\hbar v)^2}{2M^2}\bm{e}_y で、谷 +1+1 の電子は +y+y、谷 −1-1 の電子は −y-y へ流れる（大きさは例題 4.11.3 と同じ）。電荷の流れは打ち消し合うが、試料の +y+y の端には谷 +1+1 の電子、−y-y の端には谷 −1-1 の電子がたまる（谷 Hall 効果）。電荷はたまらないので普通の Hall 電圧は出ないが、谷の偏りは谷ごとに異なる円偏光の吸収などで見分けられる。

(4)（4.11.5節）式 (4.11.25) の第1式を谷ごとに使うと(∂nτ/∂B)μ=eℏ∫Ωτ,−d2q(2π)2=eℏτπ4π2=τe2h(\partial n_\tau/\partial B)_\mu=\frac e\hbar\int\Omega_{\tau,-}\frac{\mathrm{d}^2q}{(2\pi)^2}=\frac e\hbar\frac{\tau\pi}{4\pi^2}=\tau\frac{e}{2h}。和は 00 で、磁場をかけても全電子数は変わらない（片方の谷で増え、他方で減る）。−e(∂nτ/∂B)μ=−τe2/(2h)-e(\partial n_\tau/\partial B)_\mu=-\tau e^2/(2h) は (2) の σxy(τ)\sigma^{(\tau)}_{xy} に等しく、谷ごとに Středa の式が成り立つ。

(5)（4.11.4節・第3部第8章）絶対零度の平衡分布 f0f_0 は、下のバンドすべてと、伝導帯のうち g(q)<μg(q)<\mu、すなわち q<qF=μ2−M2/(ℏv)q<q_{\mathrm F}=\sqrt{\mu^2-M^2}/(\hbar v) の円を占める。下のバンドの寄与は τπ\tau\pi、伝導帯の寄与は例題 4.11.1 (3) の半径 qFq_{\mathrm F} の円の流束に符号を付けて −τπ(1−M/g(qF))=−τπ(1−M/μ)-\tau\pi(1-M/g(q_{\mathrm F}))=-\tau\pi(1-M/\mu)。合計は

∫f0 Ω d2q=τπMμ,σxy(τ)=−τe22h⋅Mμ.\int f_0\,\Omega\,\mathrm{d}^2q=\tau\pi\frac M\mu,\qquad\sigma^{(\tau)}_{xy}=-\tau\frac{e^2}{2h}\cdot\frac{M}{\mu}.

μ=M\mu=M（バンドの底）で (2) の値に戻り、μ\mu を上げると M/μM/\mu に比例して小さくなる。曲率が集まっている底の近くの状態が、上のバンドの逆符号の曲率で打ち消されるためである。M=0.1 eVM=0.1\,\mathrm{eV}、μ=0.2 eV\mu=0.2\,\mathrm{eV} では ∣σxy(τ)∣=e22h⋅12=e24h=9.69×10−6 S\lvert \sigma^{(\tau)}_{xy}\rvert =\frac{e^2}{2h}\cdot\frac12=\frac{e^2}{4h}=9.69\times10^{-6}\,\mathrm S。金属になると Hall 伝導度は量子化されず、Fermi 準位の位置によって連続的に変わる。

木下の勉強ステータス

木下はまだこの記事を勉強していません。

AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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