この章のまとめ

2026年10月15日10分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第4部第8章量子熱力学

AI 生成・木下が未勉強

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第4部第8章 §4.8.7　★★★ 比べるのは今の状態と熱状態。熱状態を動かさないチャネルは $D$ を増やさず、その減りがエントロピー生成。消去・熱機関・資源理論の限界はすべて $D$ とその仲間で書ける

この章では、量子の系の非平衡の状態を、同じ Hamiltonian の熱状態と比べた。仕事は Hamiltonian の変化、熱は状態の変化として分け、 $k_{\mathrm B} T\,D(\hat\rho\,\|\,\hat\rho_\beta)$ が非平衡の自由エネルギーの余りであることを確かめた。量子の場合の $D$ は、占有数の分とコヒーレンスの分の和に分かれる（式 (4.8.4)）。熱浴を使わない周期的な操作で取り出せる仕事は ergotropy で、受動的な状態からは $0$ だが、熱浴があれば $D$ の分まで取り出せる。

当てた性質は量子データ処理不等式で、系と熱浴をまとめてユニタリで動かすと、エントロピー生成は終わりの全体の状態と「熱浴だけを平衡に戻した状態」の $D$ に等しい（定理 4.8.2）。エネルギーを保つ相互作用ではそれは系の $D$ の減りで、連続時間では Spohn の不等式になる。

出てきたものは3つある。第一に、消去で熱浴へ流れる熱の下限 $- k_{\mathrm B} T\Delta S_{\mathrm S}$ （Landauer 原理）は等式の形で書け、余分は相関と熱浴のずれである。段に分けると余分は $D$ の和になり、Fisher 情報を通じて段の数に反比例して減る。第二に、2準位の Otto サイクルの効率は $1-\omega_{\mathrm c}/\omega_{\mathrm h}$ で、Carnot の効率との差は1サイクルのエントロピー生成、すなわち2つの熱状態の $D$ の両向きの和で決まる。第三に、熱的操作の資源理論では、自由エネルギー1つの代わりに $D_\alpha$ の族が並び、1回きりの仕事は $D_0$ 、作るコストは $D_\infty$ 、多数回の平均で $D$ に揃う。熱的操作はエネルギーの重ね合わせを作れず、コヒーレンスの分は単独では仕事にならない。

第4部の章を通して、第二法則は、熱状態（または逆回しの経路の確率）を動かさない写像で $D$ が増えないという1つの不等式の姿をとった。実験でこれらの量を測った例は第4部第7章にまとめてある。量子の系のエントロピーとエンタングルメントの話は第5部（多体系）と第7部（ブラックホール）で、熱状態を純粋化のエンタングルメントとして読む形で再び現れる。

要点

$\mathrm{d}' W=\operatorname{Tr}\hat\rho\,\mathrm{d}\hat H$ 、 $\mathrm{d}' Q=\operatorname{Tr}\hat H\,\mathrm{d}\hat\rho$ 。 $F(\hat\rho)-F_{\mathrm{eq}}= k_{\mathrm B} T\,D(\hat\rho\,\|\,\hat\rho_\beta)= k_{\mathrm B} T[D(\Delta_{\mathcal B}(\hat\rho)\,\|\,\hat\rho_\beta)+S(\Delta_{\mathcal B}(\hat\rho))-S(\hat\rho)]$ 。
ergotropy $\mathcal W(\hat\rho)=\operatorname{Tr}\hat\rho\hat H-\sum_kr_k^{\downarrow}E_k^{\uparrow}$ （熱浴なし）。熱浴ありの上限は $k_{\mathrm B} T\,D$ 。
$\Delta S_{\mathrm S}-\beta Q=I(\mathrm S;\mathrm B)_{\rho'}+D(\hat\rho'_{\mathrm B}\,\|\,\hat\rho^\beta_{\mathrm B})=D(\hat\rho'_{\mathrm{SB}}\,\|\,\hat\rho'_{\mathrm S}\otimes\hat\rho^\beta_{\mathrm B})$ 。エネルギー保存なら $=-\Delta D(\hat\rho_{\mathrm S}\,\|\,\hat\rho_\beta)$ 。
Landauer： $\beta Q_{\mathrm B}=-\Delta S_{\mathrm S}+I+D\ge-\Delta S_{\mathrm S}$ 。 $N$ 段の消去の余分 $= k_{\mathrm B} T\sum_kD(\pi_{x_{k-1}}\,\|\,\pi_{x_k})\approx k_{\mathrm B} T\frac{X}{2N}(\frac12-p_1(X))$ 。
Otto： $\eta=1-\omega_{\mathrm c}/\omega_{\mathrm h}$ 、 $\Sigma_{\mathrm{cyc}}=D(p_{\mathrm c}\,\|\,p_{\mathrm h})+D(p_{\mathrm h}\,\|\,p_{\mathrm c})$ 、 $\eta_{\mathrm C}-\eta= k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}\Sigma_{\mathrm{cyc}}/Q_{\mathrm h}$ 。
資源理論：1回きりの仕事 $\le k_{\mathrm B} T\,D_0$ 、作るコスト $k_{\mathrm B} T\,D_\infty$ 、多数回で $k_{\mathrm B} T\,D$ 。熱的操作は $\Delta_{\mathcal B}$ と可換。

総合問題　2準位の熱機関で1ビットを消す ★★★

オリジナル例題 4.8.4 と同じ Otto サイクル（ $T_{\mathrm h}=2T_{\mathrm c}$ 、 $\hbar\omega_{\mathrm h}=2 k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}$ 、 $\hbar\omega_{\mathrm c}=1.2\, k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}$ ）を回し、取り出した仕事を温度 $T_{\mathrm c}$ の環境での記憶の消去に使う。エネルギーは $k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}$ を単位に測る。

(1) 1サイクルの仕事 $-W$ 、高温の熱浴からの熱 $Q_{\mathrm h}$ 、効率 $\eta$ 、Carnot の効率 $\eta_{\mathrm C}$ を求めよ。（使う道具：4.8.4 節）
(2) 1サイクルのエントロピー生成 $\Sigma_{\mathrm{cyc}}$ を求め、 $\eta_{\mathrm C}-\eta= k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}\Sigma_{\mathrm{cyc}}/Q_{\mathrm h}$ を確かめよ。（使う道具：4.8.2 節・4.8.4 節、第4部第3章のエントロピー生成）
(3) 行程 B（膨張）の終わりの状態は、間隔 $\omega_{\mathrm c}$ の Hamiltonian について受動的であることを示し、そのときの $D(p_{\mathrm h}\,\|\,p_{\mathrm c})$ を求めよ。この $D$ は (2) の $\Sigma_{\mathrm{cyc}}$ のどの部分か。（使う道具：4.8.1 節、第3部第2章の量子 Gibbs の変分原理）
(4) 1ビットの記憶を温度 $T_{\mathrm c}$ で準静的に消すのに要る仕事は $k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}\ln2$ である。これをこの機関の仕事でまかなうには、少なくとも何サイクル回す必要があるか。（使う道具：4.8.3 節、第4部第5章の Landauer 原理）
(5) (3) の状態を1個だけ手にしたとき、温度 $T_{\mathrm c}$ の熱浴を使う熱的操作で確実に取り出せる仕事と、熱状態からこの状態を作るのに要る仕事を求めよ。（使う道具：4.8.5 節、第1部第8章の大偏差）

解答

(1) 例題 4.8.4 のとおり $p_{\mathrm h}=0.2689$ 、 $p_{\mathrm c}=0.2315$ で、 $-W=0.0300$ 、 $Q_{\mathrm h}=0.0749$ 、 $\eta=1-1.2/2=0.40$ 、 $\eta_{\mathrm C}=1-\frac12=0.50$ である。

(2) 式 (4.8.17) から $\Sigma_{\mathrm{cyc}}=(x_{\mathrm c}-x_{\mathrm h})(p_{\mathrm h}-p_{\mathrm c})=0.2\times0.03746=0.00749$ である。 $k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}\Sigma_{\mathrm{cyc}}/Q_{\mathrm h}=0.00749/0.0749=0.100=\eta_{\mathrm C}-\eta$ となる。1サイクルで2つの熱浴のエントロピーは合わせて $0.00749\, k_{\mathrm B}$ 増え、その分 $k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}\Sigma_{\mathrm{cyc}}=0.0075$ だけ Carnot の機関より仕事が少ない。

(3) 行程 B では占有数が保たれるので、終わりの状態は $(1-p_{\mathrm h},p_{\mathrm h})=(0.7311,0.2689)$ の対角の状態で、Hamiltonian は $\hat H(\omega_{\mathrm c})$ である。エネルギーの低い $| 0 \rangle$ の占有数が大きいので受動的で、ergotropy は $0$ である。熱浴を使わない周期的な操作では、この状態から仕事は取り出せない。低温の熱状態は $(0.7685,0.2315)$ なので $D(p_{\mathrm h}\,\|\,p_{\mathrm c})=0.7311\ln\frac{0.7311}{0.7685}+0.2689\ln\frac{0.2689}{0.2315}=0.00381$ である。これは行程 C の完全な緩和で生じるエントロピー生成で、 $\Sigma_{\mathrm{cyc}}$ のうち低温の熱浴との接触の分である（残りの $0.00368$ が行程 A の分）。低温の熱浴を使えばこの $D$ の分 $0.0038\, k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}$ を仕事として取り出せたはずで、Otto サイクルはそれを熱として捨てている。

(4) $\ln2/0.0300=23.1$ なので、少なくとも 24 サイクル回す必要がある。実際の消去は有限の段数で行うので、4.8.3 節の余分の分だけさらに多く要る。

(5) 状態 $(0.7311,0.2689)$ は両方の準位に確率を持つので $D_0=-\ln(0.7685+0.2315)=0$ で、確実に取り出せる仕事は $0$ である。作るのに要る仕事は $k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}D_\infty= k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}\ln\max\bigl(\frac{0.7311}{0.7685},\frac{0.2689}{0.2315}\bigr)= k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}\ln1.162=0.150\, k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}$ である。平均の $D=0.00381$ はこの2つの間にあり、多数の複製を集めたときだけ1個あたり $0.0038\, k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}$ を取り出せる。1個の系では、取り出せる量と作るコストの差が $D$ そのものより40倍ほど大きい。

木下の勉強ステータス

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下智貴

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