この章のまとめ

(1) $K=2E_{\mathrm b}b^2=2\times0.4\times1.602\times10^{-19}\times2.25\times10^{20}\,\mathrm{N\,m^{-1}}=28.8\,\mathrm{N\,m^{-1}}$。$\omega_{\mathrm m}=2\sqrt{28.84/1.0\times10^{-25}}\,\mathrm{s^{-1}}=3.40\times10^{13}\,\mathrm{s^{-1}}$、$\hbar\omega_{\mathrm m}/ k_{\mathrm B}=259\,\mathrm K$。室温はこの温度と同じ程度なので、古典の扱いは室温では目安にとどまる。

(2) 長さを $L=Nr$ に変えると、分散関係は $\omega_k=2\sqrt{\phi''(r)/M}\lvert \sin(\pi\nu/N)\rvert$（$ka=2\pi\nu/N$）で、モードの番号 $\nu$ を固定すると $\sin$ の因子は $r$ によらない。したがって $\gamma_k=-\partial\ln\omega_k/\partial\ln L=-(r/2)\phi'''(r)/\phi''(r)$ はすべてのモードで同じで、$r=a$ で $-aK_3/(2K)=6E_{\mathrm b}b^3a/(4E_{\mathrm b}b^2)=3ba/2=5.63$ である。

(3) 例題 3.2.3 (2) の $\alpha_L=\gamma C/(NKa^2)$ で、$\gamma$ が温度によらないので $\alpha_L\propto C(T)$。$C=N k_{\mathrm B}$ のとき $\alpha_\infty=4.31\times10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}}$ なので、$\alpha_L(T)=\alpha_\infty C(T)/(N k_{\mathrm B})$ である。$10\,\mathrm K$ では $C/(N k_{\mathrm B})=\frac{2\pi}{3}\times10/259.4=0.0807$（モードの和を数値でとると $0.0812$）で、$\alpha_L=3.48\times10^{-6}\,\mathrm{K^{-1}}$。3次元の結晶では低温の比熱が $T^3$ なので熱膨張率も $T^3$ で 0 に近づくが、1次元の鎖では低温の比熱が $T$ に比例するので、熱膨張率も $T$ に比例して 0 に近づく。どちらも絶対零度で熱膨張率が 0 になること（熱力学の第三法則と整合）は共通である。

(4) 単原子の鎖は音響の枝1本だけなので、例題 3.2.5 のとおり3フォノン過程はエネルギーと結晶運動量の保存を同時に満たせず、N 過程も U 過程も起きない。3次の項だけを摂動として残した Peierls の理論では衝突の項が 0 で、フォノンの緩和時間は無限大、熱伝導率は無限大のままである。フォノンが散乱されるようにするには、4次の項による4フォノン過程を入れる必要がある。ただし 3.2.5 節で見たとおり、1次元の非調和な鎖では4フォノン過程を入れても熱伝導率が長さとともに発散する例が知られていて、Fourier の法則の前提そのものが成り立たない。

(5) $C_f/(N k_{\mathrm B})=1+ k_{\mathrm B} T/E_{\mathrm b}$（式 (3.2.10)）、$C_L/(N k_{\mathrm B})=1- k_{\mathrm B} T/(8E_{\mathrm b})$（式 (3.2.25)）なので、差は $\frac98 k_{\mathrm B} T/E_{\mathrm b}$。これは $TL\alpha_\infty^2B_1/(N k_{\mathrm B})$ と一致する。$300\,\mathrm K$ では $k_{\mathrm B} T/E_{\mathrm b}=0.0646$ で、差は $0.0727$、つまり $C_f$ と $C_L$ は $7\%$ 程度違う。(1) で見たように $300\,\mathrm K$ は $\hbar\omega_{\mathrm m}/ k_{\mathrm B}$ と同じ程度なので、量子の効果まで入れると両方とも値は下がる。この数字は古典の式の中での大きさの目安である。