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授業で習った形との対応

2026年10月15日8分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第1部 第5章 L=T-V の由来
目次
  1. d'Alembert の原理からの導出
  2. 和 と差
  3. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第5章 §1.5.6　★★ 教科書の「d'Alembert の原理から Lagrange 方程式」は、Newton の運動方程式を一般化座標の向きへ射影したもので、この章の式と同じものになる。和 T+VT+V と差 T−VT-V は Legendre 変換でつながる

d'Alembert の原理からの導出

学部の力学では、Lagrange 方程式を作用から出さず、Newton の運動方程式から出すことが多い。その道筋をこの章の記号で書く。質点の位置が一般化座標で ra=ra(q,t)\bm{r}_a=\bm{r}_a(q,t) と表されるとする。Newton の運動方程式 mar¨a=Fam_a\ddot{\bm{r}}_a=\bm{F}_a の両辺と、一般化座標を qjq_j だけ動かしたときの位置の変化の向き ∂ra/∂qj\partial\bm{r}_a/\partial q_j との内積を取って足すと

∑amar¨a⋅∂ra∂qj=∑aFa⋅∂ra∂qj≕Qj(1.5.9)\sum_a m_a\ddot{\bm{r}}_a\cdot\frac{\partial \bm{r}_a}{\partial q_j}=\sum_a\bm{F}_a\cdot\frac{\partial \bm{r}_a}{\partial q_j}\eqqcolon Q_j\tag{1.5.9}

となる。右辺の QjQ_j を一般化力と呼ぶ。これが d'Alembert の原理（仮想変位 δra=∑j(∂ra/∂qj)δqj\delta\bm{r}_a=\sum_j(\partial\bm{r}_a/\partial q_j)\delta q_j に対して ∑a(Fa−mar¨a)⋅δra=0\sum_a(\bm{F}_a-m_a\ddot{\bm{r}}_a)\cdot\delta\bm{r}_a=0）を一般化座標で書いたものである。

左辺を運動エネルギーで書き直す計算は、第1部第2章の定理 1.2.4（加速度の射影は TT だけで書ける）と式 (1.2.22) と同じ計算で、左辺は ddt∂T∂q˙j−∂T∂qj\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial T}{\partial \dot q_j}-\frac{\partial T}{\partial q_j} になる。したがって

ddt∂T∂q˙j−∂T∂qj=Qj.(1.5.10)\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial T}{\partial \dot q_j}-\frac{\partial T}{\partial q_j}=Q_j .\tag{1.5.10}

力がポテンシャルから出るとき Qj=−∑a∇aV⋅∂ra/∂qj=−∂V/∂qjQ_j=-\sum_a\nabla_aV\cdot\partial\bm{r}_a/\partial q_j=-\partial V/\partial q_j で、VV は q˙j\dot q_j を含まないので、右辺を左辺へ移すとddt∂(T−V)∂q˙j−∂(T−V)∂qj=0\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial (T-V)}{\partial \dot q_j}-\frac{\partial (T-V)}{\partial q_j}=0、すなわち L=T−VL=T-V の Euler–Lagrange 方程式になる。この道筋では、VV の前の負号は「力 =−∇V=-\nabla V」の負号を左辺へ移したものとして現れる。

2つの導出の違いは、出発点にある。式 (1.5.10) は Newton の運動方程式を前提にして、それを一般化座標の向きへ射影したものである。この章の1.5.1節〜1.5.4節では作用を出発点にし、TT の形を対称性から、−V-V を Newton の運動方程式との一致から決めた。d'Alembert の道筋の利点は、ポテンシャルから出ない力（摩擦など）を QjQ_j としてそのまま右辺に残せることで、作用の形式ではddt∂L∂q˙j−∂L∂qj=Qjnc\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}-\frac{\partial L}{\partial q_j}=Q_j^{\mathrm{nc}}（nc はポテンシャルから出ない力の分）と書く。

和 T+VT+V と差 T−VT-V

授業では、力学的エネルギー E=T+VE=T+V の保存を先に学ぶ。L=T−VL=T-V との関係は、第1部第4章の式 (1.4.9) で定義したエネルギー関数h=∑jq˙j ∂L/∂q˙j−Lh=\sum_j\dot q_j\,\partial L/\partial\dot q_j-L で書ける。TT が速度の2次の同次式（T=12∑jkMjk(q)q˙jq˙kT=\frac12\sum_{jk}M_{jk}(q)\dot q_j\dot q_k）なら Euler の同次関数の定理で ∑jq˙j∂T/∂q˙j=2T\sum_j\dot q_j\partial T/\partial\dot q_j=2T となり、h=2T−(T−V)=T+Vh=2T-(T-V)=T+V である。hh の形は Legendre 変換（第1部第7章）で、hh を運動量で書き直したものが Hamiltonian（第1部第8章）になる。エネルギーと Lagrangian で VV の符号が違うのは、hh を作るときに TT が2倍されて現れるためである。

授業の形（Newton の運動方程式から）この章の形（作用から）
出発点mar¨a=Fam_a\ddot{\bm{r}}_a=\bm{F}_aδS=0\delta S=0、L=T−VL=T-V
一般化座標へ射影 ∑a(⋅)⋅∂ra/∂qj\sum_a(\cdot)\cdot\partial\bm{r}_a/\partial q_jLL を新しい座標で書くだけ
−V-V の符号力 =−∇V=-\nabla V の負号Newton の運動方程式との一致で選ぶ
TT の形定義として 12mv2\frac12mv^2Galilei 変換から決まる
摩擦QjQ_j に入るQjncQ_j^{\mathrm{nc}} として外から足す
エネルギーE=T+VE=T+Vh=∑jq˙j∂L/∂q˙j−Lh=\sum_j\dot q_j\partial L/\partial\dot q_j-L

例題 1.5.6　極座標の一般化力と、摩擦で減る角運動量 ★★

オリジナル平面上の質量 mm の質点に力 F=Frer+Fφeφ\bm{F}=F_r\bm{e}_r+F_\varphi\bm{e}_\varphi がはたらく（er\bm{e}_r, eφ\bm{e}_\varphi は動径・接線方向の単位ベクトル）。

  1. (1) 極座標 (r,φ)(r,\varphi) の一般化力 QrQ_r, QφQ_\varphi を求め、QφQ_\varphi が原点のまわりの力のモーメントであることを示せ。
  2. (2) φ\varphi について式 (1.5.10) を書き、角運動量 ℓ=mr2φ˙\ell=mr^2\dot\varphi の時間変化を表せ。
  3. (3) 力が速度に比例する抵抗 F=−br˙\bm{F}=-b\dot{\bm{r}}（b>0b>0）だけのとき、ℓ(t)\ell(t) を求めよ（ℓ(0)=ℓ0\ell(0)=\ell_0）。
解答

(1) r=rer\bm{r}=r\bm{e}_r なので ∂r/∂r=er\partial\bm{r}/\partial r=\bm{e}_r、∂r/∂φ=reφ\partial\bm{r}/\partial\varphi=r\bm{e}_\varphi。よって

Qr=F⋅er=Fr,Qφ=F⋅reφ=rFφ.Q_r=\bm{F}\cdot\bm{e}_r=F_r,\qquad Q_\varphi=\bm{F}\cdot r\bm{e}_\varphi=rF_\varphi .

rFφrF_\varphi は原点のまわりの力のモーメント（zz 成分）である。一般化座標が角度なら一般化力はモーメントになり、Qφ δφQ_\varphi\,\delta\varphi が仮想変位での仕事になる。

(2) T=12m(r˙2+r2φ˙2)T=\frac12m(\dot r^2+r^2\dot\varphi^2) で ∂T/∂φ˙=mr2φ˙\partial T/\partial\dot\varphi=mr^2\dot\varphi、∂T/∂φ=0\partial T/\partial\varphi=0 なので

dℓdt=rFφ.\frac{\mathrm{d} \ell}{\mathrm{d} t}=rF_\varphi .

角運動量の時間変化は力のモーメントに等しい。中心力では Fφ=0F_\varphi=0 で ℓ\ell が保存し、例題 1.5.2 の結果に戻る。

(3) r˙=r˙er+rφ˙eφ\dot{\bm{r}}=\dot r\bm{e}_r+r\dot\varphi\bm{e}_\varphi なので Fφ=−brφ˙F_\varphi=-br\dot\varphi、Qφ=−br2φ˙=−(b/m)ℓQ_\varphi=-br^2\dot\varphi=-(b/m)\ell。(2) から dℓdt=−bmℓ\frac{\mathrm{d} \ell}{\mathrm{d} t}=-\frac bm\ell で、

ℓ(t)=ℓ0 e−bt/m.\ell(t)=\ell_0\,\mathrm{e}^{-bt/m}.

この抵抗は VV から出ないので LL に入れられず、QφncQ^{\mathrm{nc}}_\varphi として右辺に残る。

木下の勉強ステータス

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