この章のまとめ

(1) $L=\dfrac12m_1\dot x_1^2+\dfrac12m_2\dot x_2^2-\dfrac12k(x_2-x_1-\ell)^2$。

(2) 逆に解くと $x_1=X-\dfrac{m_2}{M}x$、$x_2=X+\dfrac{m_1}{M}x$。速度も同じ形なので

$$\frac12m_1\Bigl(\dot X-\frac{m_2}{M}\dot x\Bigr)^2+\frac12m_2\Bigl(\dot X+\frac{m_1}{M}\dot x\Bigr)^2 =\frac12M\dot X^2+\Bigl(-\frac{m_1m_2}{M}+\frac{m_2m_1}{M}\Bigr)\dot X\dot x+\frac12\,\frac{m_1m_2^2+m_2m_1^2}{M^2}\dot x^2 .$$

交差項は消え、$\dot x^2$ の係数は $\frac12m_1m_2(m_1+m_2)/M^2=\frac12m_{\mathrm r}$。ばねの伸びは $x-\ell$ なので、示す式を得る。命題 1.5.2 により、この $L$ の Euler–Lagrange 方程式を解けば元の座標の運動方程式を解いたことになる。

(3) $X$ について $\partial L/\partial X=0$ から $M\ddot X=0$。$x$ について $m_{\mathrm r}\ddot x=-k(x-\ell)$。重心は等速直線運動をし、相対座標は角振動数 $\omega=\sqrt{k/m_{\mathrm r}}$ で振動する。$m_{\mathrm r}=3/4\,\mathrm{kg}$ なので $\omega=\sqrt{12/0.75}=4\,\mathrm{s^{-1}}$。

(4) 速度が $\dot x_a\to\dot x_a+u$ と変わり、ばねの伸び $x_2-x_1$ は変わらない。

$$\sum_a\frac12m_a(\dot x_a+u)^2-\sum_a\frac12m_a\dot x_a^2=u\sum_am_a\dot x_a+\frac12Mu^2=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Bigl(MuX+\frac12Mu^2t\Bigr).$$

$\Lambda=MuX+\frac12Mu^2t$ である。変わるのは重心の運動エネルギーだけで、相対運動の $L$ は変わらない。

(5) 相対運動の作用は $\int_0^T\bigl(\frac12m_{\mathrm r}\dot\xi^2-\frac12k\xi^2\bigr)\mathrm{d} t=\frac{m_{\mathrm r}}{2}\int_0^T(\dot\xi^2-\omega^2\xi^2)\,\mathrm{d} t$ で、$\xi\equiv0$ のまわりの展開そのものである。Wirtinger の不等式から、$T<\pi/\omega$ なら $\xi\neq0$ で正になり、$\xi\equiv0$ は最小点である。$\pi/\omega=\pi/4=0.785\,\mathrm s$ なので、範囲は $T<0.785\,\mathrm s$。$T=1\,\mathrm s$ で $\xi=\epsilon\sin\pi t$ を入れると、$\int_0^1\cos^2\pi t\,\mathrm{d} t=\int_0^1\sin^2\pi t\,\mathrm{d} t=\frac12$ から

$$\frac{m_{\mathrm r}}{2}\cdot\frac{\epsilon^2}{2}\bigl(\pi^2-\omega^2\bigr)=\frac{0.75}{4}(9.870-16)\,\epsilon^2=-1.15\,\epsilon^2\ \mathrm{J\,s}\quad(\epsilon\text{ は m 単位})$$

で負になる。$T=1\,\mathrm s$ は焦点 $0.785\,\mathrm s$ を越えているので、静止した真の経路は鞍点である。

(6) $h=\dot X\,M\dot X+\dot x\,m_{\mathrm r}\dot x-L=\dfrac12M\dot X^2+\dfrac12m_{\mathrm r}\dot x^2+\dfrac12k(x-\ell)^2$ で、$T+V$ である。$h$ を時間で微分し、$p_j=\partial L/\partial\dot q_j$ と書くと

$$\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}=\sum_j\bigl(\ddot q_jp_j+\dot q_j\dot p_j\bigr)-\sum_j\Bigl(\frac{\partial L}{\partial q_j}\dot q_j+p_j\ddot q_j\Bigr)-\frac{\partial L}{\partial t} =\sum_j\dot q_j\Bigl(\dot p_j-\frac{\partial L}{\partial q_j}\Bigr)-\frac{\partial L}{\partial t}.$$

括弧は Euler–Lagrange 方程式で $0$、$L$ は時刻をあらわに含まないので $\partial L/\partial t=0$。よって $\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}=0$ で、力学的エネルギーが保存する。時刻をあらわに含まないことが保存の理由であることは、第1部第10章で時間の並進に Noether の定理を当てて見直す。