当てる道具：Euler–Lagrange 方程式と座標の取り替え

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第5章 §1.5.2　★★★ 作用は座標の選び方によらない数なので、Euler–Lagrange 方程式はどの一般化座標でも同じ形をとる。$L=T-V$ を直交座標で書いて代入するだけで済む

Euler–Lagrange 方程式は座標によらない

Newton の運動方程式 (1.5.3) は直交座標で書かれていて、極座標で使うには加速度の成分 $\ddot r-r\dot\varphi^2$ や $r\ddot\varphi+2\dot r\dot\varphi$ を別に計算する必要がある。Euler–Lagrange 方程式にはこの手間が無い。その理由は、作用の値が「経路に沿った $L$ の積分」という1つの数で、経路をどの座標で表したかによらないことにある。

一般化座標 $q=(q_1,\dots,q_f)$ から別の一般化座標 $Q=(Q_1,\dots,Q_f)$ への取り替え $q_i=q_i(Q,t)$ を考える。各時刻で $Q\mapsto q$ は滑らかで逆を持つとする（一般化座標の取り方は 第1部第2章）。速度は連鎖律で

$$\dot q_i=\sum_j\frac{\partial q_i}{\partial Q_j}\dot Q_j+\frac{\partial q_i}{\partial t}$$

となるので、新しい Lagrangian を $\tilde L(Q,\dot Q,t)\coloneqq L\bigl(q(Q,t),\dot q(Q,\dot Q,t),t\bigr)$ と定める。同じ経路を $q$ で表しても $Q$ で表しても、作用は同じ数になる。

この命題の要点は、Newton の運動方程式のように「ベクトルの成分」を座標ごとに変換し直す必要がなく、スカラー $L$ を新しい座標で書き直すだけでよいことである。運動エネルギーは速度の2乗という座標によらない量なので、極座標なら $\lvert \dot{\bm{r}}\rvert ^2=\dot r^2+r^2\dot\varphi^2$ を入れればよい。時刻によって動く座標（回転する座標系など）でも、$\partial q_i/\partial t\neq0$ の項が速度に入るだけで、手順は同じである。