Newton の運動方程式が出る：符号と、$L$ の選び方の自由度

(1) $\partial L_+/\partial q=m\omega^2q$、$\partial L_+/\partial\dot q=m\dot q$ から $\ddot q=+\omega^2q$。一般解は $q=a\mathrm{e}^{\omega t}+b\mathrm{e}^{-\omega t}$ で、初期条件から

$$q(t)=\frac{v_0}{\omega}\sinh\omega t .$$

$L$ では $q=(v_0/\omega)\sin\omega t$ で、振幅 $v_0/\omega$ の振動である。$L_+$ では原点から離れるほど強く押し出され、$q$ は指数関数的に大きくなる。

(2) $\frac{\mathrm{d} \Lambda}{\mathrm{d} t}=m\lambda q\dot q\,t+\frac12m\lambda q^2$ なので、足した分の寄与は

$$\frac{\partial }{\partial q}\Bigl(\frac{\mathrm{d} \Lambda}{\mathrm{d} t}\Bigr)=m\lambda\dot q\,t+m\lambda q,\qquad \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial }{\partial \dot q}\Bigl(\frac{\mathrm{d} \Lambda}{\mathrm{d} t}\Bigr)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\bigl(m\lambda q\,t\bigr)=m\lambda\dot q\,t+m\lambda q .$$

差は $0$ で、Euler–Lagrange 方程式に何も足されない。

(3) $\partial L_4/\partial\dot q=4\kappa\dot q^3$、$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(4\kappa\dot q^3)=12\kappa\dot q^2\ddot q$ なので、$L_4$ の方程式は $12\kappa\dot q^2\ddot q=0$。$\dot q\neq0$ なら $\ddot q=0$ で、等速直線運動になる（$\dot q=0$ の静止も解である）。$L_4-mgq$ では $12\kappa\dot q^2\ddot q=-mg$ で、加速度 $\ddot q=-mg/(12\kappa\dot q^2)$ は速度によって変わる。一様な重力の中の運動 $\ddot q=-g$ にはならない。自由粒子の運動だけでは $\frac12m\dot q^2$ と $\kappa\dot q^4$ を区別できず、ポテンシャルを足したときに区別がつく。