運動エネルギーの形は対称性で決まる

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第5章 §1.5.4　★★★ 一様性・等方性で $L=L(v^2)$、Galilei 変換で $L$ が全微分だけ変わることを要求すると $L=\frac12mv^2$。相対論では同じ手順で $-mc^2\sqrt{1-v^2/c^2}$

一様性と等方性

1つの自由粒子の $L$ を、運動の法則を前提にせず対称性だけから決める。慣性系で次の3つを要求する。

1. (i) 時間の一様性：$L$ は時刻 $t$ をあらわに含まない。
2. (ii) 空間の一様性：$L$ は位置 $\bm{r}$ をあらわに含まない。
3. (iii) 空間の等方性：$L$ は速度 $\bm{v}=\dot{\bm{r}}$ の向きによらない。

(i)(ii)(iii) から $L$ は速さの2乗 $v^2=\lvert \bm{v}\rvert ^2$ だけの関数 $L=L(v^2)$ になる。$\partial L/\partial\bm{r}=0$ なので Euler–Lagrange 方程式は $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \bm{v}}=0$ で、$\partial L/\partial\bm{v}=2L'(v^2)\bm{v}$ が一定になる。$L'$ が $0$ でなければ $\bm{v}$ は一定で、自由粒子は等速直線運動をする。慣性の法則は (i)〜(iii) から出る。しかし $L(v^2)$ の関数形は決まらない。

Galilei 変換で全微分だけ変わること

ここで Galilei の相対性を要求する。速度 $-\bm{u}$ で動く別の慣性系から見ると、粒子の速度は $\bm{v}'=\bm{v}+\bm{u}$ になる。2つの系で同じ運動方程式が出ればよいので、命題 1.5.3 により、$L(v'^2)$ と $L(v^2)$ の差が時間の全微分 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Lambda(\bm{r},t)$ であればよい。$\bm{u}$ が小さいとして1次まで展開すると

$$L\bigl(\lvert \bm{v}+\bm{u}\rvert ^2\bigr)=L(v^2)+2L'(v^2)\,\bm{v}\cdot\bm{u}+\mathcal{O}(u^2)$$

となる。$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Lambda(\bm{r},t)=\nabla\Lambda\cdot\bm{v}+\partial_t\Lambda$ は $\bm{v}$ の1次式で、係数 $\nabla\Lambda$ は $\bm{r}$ と $t$ だけの関数である。$2L'(v^2)\,\bm{v}\cdot\bm{u}$ がこの形になるには、$L'(v^2)$ が $\bm{v}$ によらない定数でなければならない。

係数を $\frac12m$ と書いたのは、この定数を質量と呼ぶための約束である。有限の $\bm{u}$ でも

$$\frac12m\lvert \bm{v}+\bm{u}\rvert ^2=\frac12mv^2+\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Bigl(m\bm{u}\cdot\bm{r}+\frac12mu^2t\Bigr)$$

となり、要求は満たされている。$m>0$ は対称性からは出ない。$m<0$ だと、端を固定した経路を速く振動させるほど $\frac12m\int\dot\eta^2\,\mathrm{d} t$ がいくらでも負になり、作用に下限が無くなる。1.5.5節で見るように、真の経路は短い時間では作用の最小点であり、そのために $m>0$ が要る。

相互作用する $N$ 個の粒子では、各粒子の $\frac12m_av_a^2$ を足し、相互作用を表す項を加える。相互作用の項がどんな形かは対称性からは決まらない。速度によらない相互作用なら、それを $-V(\bm{r}_1,\dots,\bm{r}_N)$ と書き、$V$ が静力学で測る位置エネルギーと一致するように選ぶ。$V$ が粒子の相対位置 $\bm{r}_a-\bm{r}_b$ だけの関数なら、Galilei 変換で $V$ は変わらない。こうして式 (1.5.1) が得られる。速度による相互作用（電磁場中の荷電粒子）では $-V$ の代わりに $-q\phi+q\bm{v}\cdot\bm{A}$ が入る（第2部第2章）。

運動エネルギーの部分 $\sum_a\frac12m_av_a^2$ は、どの系でも同じ形をしている。これは自由な空間の対称性（時刻と位置の並進・回転・Galilei 変換）だけから決めたので、それらの対称性をすべて持っている。したがって、系ごとに違う物理はすべて相互作用の項 $V$ に入り、どの保存量が残るかも $V$ の対称性だけで決まる。

1行目の $y$ のように $L$ に現れない座標を循環座標と呼ぶ。対称性から保存量を出す一般の定理（Noether の定理）は第1部第10章で示す。