授業で習った形との対応

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第2部 第4章 §2.4.6　★★ エントロピー増大則・Boltzmann の $S= k_{\mathrm B}\ln W(E)$・Clausius の不等式・H 定理は、どれも「どの粗視化で $D$ を測ったか」の違いとして並ぶ

熱力学と統計力学の授業では、第二法則がいくつかの形で現れる。この章の式と並べると次のようになる。

孤立系のエントロピー増大則

授業では「断熱された系の熱力学的な状態変化では $\Delta S\ge0$」と書く。この章では、定理 2.4.5 と Jaynes の式 (2.4.17)

$$\Delta S\ge0\qquad\longleftrightarrow\qquad D(\Pi\rho_t\,\|\,u)\le D(\rho_0\,\|\,u)\quad(\rho_0=\Pi\rho_0,\ \Pi=\mathcal C\ \text{または}\ \Pi_{\mathrm{ME}})$$

が対応する。授業では「始めと終わりが平衡状態」という条件を付けるが、この章の言葉では、それは始めの密度が粗視化した形（$\rho_0=\Pi\rho_0$）であることと、終わりを粗視化して測ることにあたる。

Boltzmann の公式

授業では $S= k_{\mathrm B}\ln W(E)$ と書き、$W(E)$ をそのマクロな状態に属する微視的な状態の数とする。この章では、密度がマクロな状態の区画 $A_k$ の上で一様なとき

$$S= k_{\mathrm B}\ln W(E)\qquad\longleftrightarrow\qquad k_{\mathrm B} H(\mathcal C\rho)= k_{\mathrm B}\ln\lvert A_k\rvert \quad(\rho=u_{A_k})$$

となる（体積を $\mathrm{d}\Gamma$ で測れば $\lvert A_k\rvert$ が状態の数）。区画を1つに決めたときの粗いエントロピーが Boltzmann のエントロピーである。区画の確率が広がっていれば、$H(\mathcal C\rho)=\sum_kP_k\ln\lvert A_k\rvert +H(P)$ と、区画の大きさの平均に区画の分布のエントロピーが足される。

Clausius の不等式

授業では $\Delta S\ge\int\delta Q/T$ と書く。温度一定の熱浴1つの場合、この章の定理 2.4.7 が

$$\Delta S-\frac{Q}{T}\ge0\qquad\longleftrightarrow\qquad \Sigma=I(\mathrm S;\mathrm B)_t+D\bigl(\rho_{\mathrm B}(t)\,\|\,\rho_{\mathrm B}^{\mathrm{can}}\bigr)\ge0$$

と対応し、左辺の不等号の余り（エントロピー生成）が、捨てた相関と熱浴のずれに等しいことまで言う。等温で $\Delta S-Q/T$ を書き直すと自由エネルギーの減り $-\Delta F/T$ になり、それが $k_{\mathrm B} D(\rho\,\|\,\rho_{\mathrm{can}})$ の減りに等しいことは第1部第1章・第2部第2章 の Gibbs の変分原理 $F[\rho]-F_{\mathrm{eq}}= k_{\mathrm B} T\,D(\rho\,\|\,\rho_{\mathrm{can}})$ による。

H 定理

授業では、1粒子の分布 $f$ について $H_{\mathrm{Bz}}(t)\coloneqq\int f\ln f\,\mathrm{d}^3r\,\mathrm{d}^3v$ を定義し、Boltzmann 方程式から $\frac{\mathrm{d} H_{\mathrm{Bz}}}{\mathrm{d} t}\le0$ を示す（$H_{\mathrm{Bz}}$ はこの巻の Shannon エントロピー $H$ と符号も字も紛れるので添字を付けた）。この章では

$$\frac{\mathrm{d} H_{\mathrm{Bz}}}{\mathrm{d} t}\le0\qquad\longleftrightarrow\qquad \text{毎回の周辺の積への粗視化（命題~2.4.6 の形）と、全相関の式~(2.4.15)}$$

が対応する。$-H_{\mathrm{Bz}}$ は1粒子の分布のエントロピーで、全体の Gibbs のエントロピーとの差は粒子どうしの全相関である。

Gibbs のエントロピーが一定であること

授業では「Liouville の定理により $- k_{\mathrm B}\int\rho\ln\rho$ は一定なので、そのままでは第二法則を説明できない」と注意されることが多い。この章の定理 2.4.2 はそれを $D(\rho_t\,\|\,u)$ が一定という形で述べ、粗視化した $D$ がその下にあることで第二法則を出した。2つの事実（可逆な写像は $D$ を保つ・粗視化は $D$ を減らす）が、一方は一定、他方は増大という2つの結論に分かれる。