この章のまとめ

(1) 熱浴のカノニカル分布は $\mathrm{e}^{-\beta\varepsilon b}=2^{-b}$ に比例するので $\rho_{\mathrm B}^{\mathrm{can}}=(4/7,\,2/7,\,1/7)$ である。初めの全体の分布は $(1,b)$ に $(4/7,2/7,1/7)$ で、置換により $(1,0)\to(0,1)$、$(1,1)\to(0,2)$、$(1,2)$ はそのままなので、後の分布は$(0,1)$ に $4/7$、$(0,2)$ に $2/7$、$(1,2)$ に $1/7$ である。確率の値の組は並べ替わっただけなので、全体の $H$ は $H(4/7,2/7,1/7)=0.956$ nat のまま変わらない。

(2) 系の周辺は $\rho_{\mathrm S}=(6/7,\,1/7)$、熱浴の周辺は $\rho_{\mathrm B}=(0,\,4/7,\,3/7)$ である。$H(\rho_{\mathrm S})=h_{\mathrm b}(1/7)=0.410$、$H(\rho_{\mathrm B})=h_{\mathrm b}(3/7)=0.683$ なので $I(\mathrm S;\mathrm B)=0.410+0.683-0.956=0.137$ nat である。熱浴のずれは $D(\rho_{\mathrm B}\,\|\,\rho_{\mathrm B}^{\mathrm{can}})=\frac47\ln\frac{4/7}{2/7}+\frac37\ln\frac{3/7}{1/7}=\frac47\ln2+\frac37\ln3=0.867$ nat である。

(3) 全体のエネルギーは保存し、相互作用のエネルギーは無いので、系が受け取った熱は系のエネルギーの増えに等しい。系のエネルギーは $\varepsilon$ から $\varepsilon /7$ になるので $Q=-6\varepsilon /7$ である。初めの系は確実に $s=1$ なので $H(\rho_{\mathrm S}(0))=0$ で、

$$\Sigma=h_{\mathrm b}(1/7)+\frac67\beta\varepsilon =0.410+\frac67\ln2=1.004\ \text{nat}.$$

一方 $I+D=0.137+0.867=1.004$ nat で、等式が成り立つ。系のエントロピーの増え $0.410$ は、熱を手放した分 $\beta Q=-0.594$ を考えると不等式 $\Delta H\ge\beta Q$ を大きく満たしており、その余りが系と熱浴の相関と、熱浴が平衡から押し上げられた分に分かれている。

(4) 熱浴が毎回新しいカノニカル分布なので、系の次の状態は今の状態だけで決まる。$s=1$ からは $b\in\{0,1\}$（確率 $6/7$）のとき $s=0$ へ、$b=2$（確率 $1/7$）のとき $s=1$ にとどまる。$s=0$ からは $b\in\{1,2\}$（確率 $3/7$）のとき $s=1$ へ、$b=0$（確率 $4/7$）のとき $s=0$ にとどまる。列を移る前の状態、行を移った後の状態にとると

$$W=\begin{pmatrix}4/7&6/7\\3/7&1/7\end{pmatrix},\qquad \pi=(2/3,\,1/3).$$

$W\pi=(8/21+6/21,\ 6/21+1/21)=(2/3,1/3)$ で定常であり、$\pi_0/\pi_1=2=\mathrm{e}^{\beta\varepsilon }$ はカノニカル分布である（詳細つり合い $\frac37\cdot\frac23=\frac67\cdot\frac13$ も成り立つ）。$p_0=(0,1)$ から $p_1=(6/7,1/7)$、$p_2=W p_1$、… と進み、$D(p_t\,\|\,\pi)$ は $1.099$（$=\ln3$）、$0.0944$、$0.0065$、$0.00055$ と単調に減る。$W$ の2つ目の固有値は $-2/7$ で、$\pi$ からのずれは毎回 $-2/7$ 倍になり、$D$ はずれの2乗におおよそ比例して減る。これは 2.4.4 節の命題で、熱浴を取り替えることが毎回の粗視化（熱浴との相関と熱浴のずれを捨てること）にあたる。

(5) 1歩の間、全体のエネルギーは保存するので $Q_t=\Delta\langle E_{\mathrm S} \rangle$ である。$D(p\,\|\,\pi)=\beta\langle E_{\mathrm S} \rangle _p-H(p)+\ln Z_{\mathrm S}$ なので

$$\Sigma_t=\Delta H(p)-\beta\Delta\langle E_{\mathrm S} \rangle =-\bigl[D(p_{t+1}\,\|\,\pi)-D(p_t\,\|\,\pi)\bigr]=D(p_t\,\|\,\pi)-D(p_{t+1}\,\|\,\pi)$$

となる。1歩目は $\ln3-0.0944=1.004$ で (3) の値に一致する。2歩目は $0.0944-0.0065=0.088$ で、これも新しい熱浴で計算した $I+D$ に等しい。和は打ち消し合って $D(p_0\,\|\,\pi)-D(p_\infty\,\|\,\pi)=\ln3=1.099$ nat になる。初めの非平衡の度合い $D(p_0\,\|\,\pi)$ が、毎回の粗視化で捨てられる相関と熱浴のずれとして、残らずエントロピー生成になる。自由エネルギーで言えば、$k_{\mathrm B} T\ln3$ が初めの系の自由エネルギーの余り $F[p_0]-F_{\mathrm{eq}}$ で、熱浴を毎回取り替える操作はそれを仕事として取り出さずにすべて捨てている。